Question

如图，已知抛物线y=ax²+4ax+t（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；
（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）抛物线的对称轴为x=-

b

2a

，由此可求出抛物线的对称轴方程，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，因此可根据B点的坐标求出A点的坐标．
（2）已知了CP∥AB，只需证CP是否与AB相等即可，根据抛物线对称轴x=-2可知CP=2，根据A、B的坐标不难得出AB=2，因此AB与PC平行且相等，四边形ABCP是平行四边形．
（3）本题的关键是求出C点的坐标，即OC的长，当∠APD=∠ACP时，△ADE∽△PAE，可得出AE²=DE•PE①，AE的长可根据A点坐标和抛物线的对称轴方程求得，而关键是求出DE、PE的比例关系，由于PE=OC，在相似三角形ADE和ACO中，可求出DE与OC的比例关系，也就求出了DE与PE的比例关系，然后将这个式子代入①中即可求出OC的长，已知了A、B、C三点坐标后可用待定系数法求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）x=-

4a

2a

=-2，
∴抛物线的对称轴是直线x=-2
设点A的坐标为（x，0），

-1+x

2

=-2，
∴x=-3，A的坐标（-3，0）

（2）证明：四边形ABCP是平行四边形
∵CP=2，AB=2，
∴CP=AB
又∵CP∥AB
∴四边形ABCP是平行四边形

（3）通过△ADE∽△CDP得出DE：PE=1：3
∵四边形ABCP是平行四边形
∴AB∥PC，
∴∠ACP=∠CAB，
∵∠APD=∠ACP，
∴∠APD=∠CAB，
∵∠AED是公共角，
∴△ADE∽△PAE，
∴1²=

t

3

•t
解得t=

3

，
将B（-1，0）代入抛物线y=ax²+4ax+t，
得t=3a，a=

3

3

，
抛物线的解析式为y=

3

3

x²+

4 3

3

x+

3

．

点评：该题综合性较强，它将二次函数和相似三角形、平行四边形贯穿在一起，考查综合分析问题能力，既考查二次函数的对称轴解析式，又考查相似三角形的性质和平行四边形的识别，是一个考查学生综合解题能力的好题．