Question

4．已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连结AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B₁处．
（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；
（2）求sin∠DAB₁的值．

Answer 1

分析 （1）利用平行线性质以及线段比求出CF的值；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{AD}{CE}$=$\frac{DF}{FC}$，根据勾股定理和三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB∥DF，
∴$\frac{AB}{CF}$=$\frac{BE}{CE}$，
∵BE=2CE，AB=3，
∴$\frac{3}{CF}$=$\frac{2CE}{CE}$，
∴CF=$\frac{3}{2}$；

（2）若点E在边BC上，延长AB₁交DC于H，∵∠BAE=∠B₁AE=∠DFE，
∴AH=FH，AE=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
$\frac{EF}{AE}$=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
设DH=x，CH=3-x，
∵CF=1，5，
∴AH=FH=$\frac{9}{2}$-x，
∵AD²+DH²=AH²，
∴3²+x²=（$\frac{9}{2}$-x）²，
∴x=$\frac{5}{4}$，
∴DH=$\frac{5}{4}$，AH=$\frac{13}{4}$，
∴sin∠DAB₁=$\frac{DH}{AH}$=$\frac{5}{13}$；
若点E在边BC的延长线上，如图，设直线AB1与CD延长线相交于点N
同理可得：AN=NF．
∵BE=2CE，
∴BC=CE=AD．
∵AD∥BE，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{DF}{FC}$，
∴DF=FC=$\frac{3}{2}$，
设DN=x，则AN=NF=x+$\frac{3}{2}$．
在Rt△ADN中，AD²+DN²=AN²，
∴3²+x²=（x+$\frac{3}{2}$）²，
∴x=$\frac{9}{4}$．
∴DN=$\frac{9}{4}$，AN=$\frac{15}{4}$，
∴sin∠DAB₁=$\frac{DN}{AN}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查正方形的性质，线段比以及勾股定理等相关知识的综合运用，注意两种情况的分析探讨．