Question

11．如图，P是等边三角形ABC内的一点，PA=6，PB=8，PC=10．若P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．

Answer 1

分析 （1）由△PAC≌△P′AB可知：PA=P′A，∠P′AB=∠PAC，然后依据等式的性质可得到∠P′AP=∠BAC=60°，从而可得到△APP′为等边三角形，即可求得PP′；
（2）由△APP′为等边三角形，得∠APP′=60°，在△PP′B中，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB=90°，可求∠APB的度数．

解答 解：（1）∵△PAC≌△P′AB，
∴PA=P′A，∠P′AB=∠PAC
∴∠P′AP=∠BAC=60°，
所以△APP′为等边三角形，
所以PP′=AP=AP′=6；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP′²+BP²=BP′²，
所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°
所以∠APB=90°+60°=150°．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得△APP′为等边三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键．