Question

已知?ABCD中，BC=1，AB=2，BC=1，AB=2，∠B=60°，若E为BC边延长线上一点，CE=1，连接AE交CD于F．
（1）求证：AF=FE；
（2）连接BF并延长交线段DE于G，求BG的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，易得CF为△ABE的中位线即证；
（2）易知△ABE为正△，继而证得△ADF≌△ECF，可得BF垂直平分AE，∠DEB=90°，继而求得答案．

解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴CE：BC=EF：AF，
∵BC=1，CE=1，
∴BC=CE，
∴AF=FE；

（2）∵BE=BC+CE=2，AB=2，
∴AB=BE，
∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE=2，
∵AD=BC=1，AD∥BC，
∴AD=CE，∠DAF=∠CEF，
在△ADF和△ECF中，

∠DAF=∠CEF ∠AFD=∠EFC AD=CE

，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=FE=1，
∴BF垂直平分AE，
∴EF=CE=1，
∵∠AEB=60°，
∴△CEF是等边三角形，
同理：△ADF是等边三角形，
∴DF=EF，
∴∠EDF=∠DEF=30°，
∴∠DEC=90°，
∴BG=

BC

cos∠GBE

=

4 3

3

．

点评：此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．