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1.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在说明理由;
(3)(1)中抛物线在第二象限的图象是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由.

分析 (1)利用交点式可直接得到抛物线的解析式;
(2)先确定C(0,3),抛物线的对称轴为直线x=-1,连接BC交直线x=-1于Q,如图,利用两点之间线段最短解决最短路径问题得到此时QA+QC的值最小,从而确定此时△QAC的周长最小,再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+3,然后计算自变量为-1时的一次函数值即可得到满足条件的Q点的坐标;
(3)过PD∥y轴交BC于P,如图,设P(x,-x2-2x+3)(-3<x<0),则D(x,x+3),则PD可表示为-x2-3x,利用三角形面积公式得到S△PBC=-$\frac{3}{2}$x2-$\frac{9}{2}$x,然后利用二次函数的性质求解.

解答 解:(1)抛物线的解析式为y=-(x-1)(x+3),
即y=-x2-2x+3;
(2)存在.
当x=0时,y=-x2-2x+3=3,则C(0,3),
抛物线的对称轴为直线x=-1,
连接BC交直线x=-1于Q,如图,
∵点A与点B关于直线x=-1对称,
∴QA=QB,
∴QA+QC=QB+QC=BC,
∴此时QA+QC的值最小,
∴此时△QAC的周长最小,
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(-3,0),C(0,3)代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$,
∴直线BC的解析式为y=x+3,
当x=-1时,y=x+3=2,
∴满足条件的Q点的坐标为(-1,2);
(3)存在.
过PD∥y轴交BC于P,如图,
设P(x,-x2-2x+3)(-3<x<0),则D(x,x+3),
∴PD=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x,
∴S△PBC=S△PBD+S△PCD=$\frac{1}{2}$•3•PD=-$\frac{3}{2}$x2-$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$(x+$\frac{3}{2}$)2+$\frac{27}{8}$,
当x=-$\frac{3}{2}$时,S△PBC值最大,最大值为$\frac{27}{8}$,
此时P点坐标为(-$\frac{3}{2}$,$\frac{15}{4}$).

点评 本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式;利用两点之间线段最短解决最短路径问题;理解坐标与图形的性质.

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