【题目】如图,点A、C分别是一次函数y=﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点,点B与点C关于原点对称,二次函数y=x2+bx+c的图象经过点B,且该二次函数图象上存在一点D,使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)求二次函数的表达式;
(2)动点P从点A到点D,同时动点Q从点C到点A都以每秒1个单位的速度运动,设运动时间为t秒.
①当t为何值时,有PQ丄AC?
②当t为何值时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
【答案】(1)y=x2﹣x﹣3;(2)①当t=秒时,PQ⊥AC,②当t=时,四边形PDCQ的面积最小,最小面积为
【解析】
(1)先利用一次函数的解析式确定A点和C点坐标,再利用点B与点C关于原点对称得到点B点坐标和BC的长,接着利用平行四边形的性质求出D点坐标,然后把点B和点D的坐标代入二次函数y=x2+bx+c得关于b、c的方程组,再解方程组求出b、c即可得到二次函数表达式;
(2)①先利用勾股定理计算出AC=5,再利用t表示出AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,当PQ⊥AC时可证明△APQ∽△CAO,则利用相似比得到,解得t=,然后解方程求出t即可;
②作QH⊥AD于H,如图,先证明△AQH∽△CAO,利用相似比可表示出QH=(5﹣t),再根据三角形面积公式,利用S四边形PDCQ=S△ACD﹣S△AQP得到四边形PDCQ的面积=t2﹣t+12,然后根据二次函数的性质求解.
解:(1)当x=0,y=﹣x+3=3,则点A(0,3),
当y=0,﹣x+3=0,解得x=4,则点C(4,0),
∵点B与点C关于原点对称,
∴点B(﹣4,0),BC=8,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥x轴,AD=BC=8,
∴D(8,3),
将点B(﹣4,0),点D(8,3)代入二次函数y=x2+bx+c得,解得,
∴二次函数表达式y=x2﹣x﹣3;
(2)①∵A(0,3),C(4,0),
∴AC==5,
,当点P运动了t秒时,则AP=t,CQ
②作QH⊥AD于H,如图,
∵∠HAQ=∠OCA,
∴△AQH∽△CAO,
∴,即,解得QH=(5﹣t),
∴S四边形PDCQ=S△ACD﹣S△AQP
=38﹣t(5﹣t)
=t2﹣t+12
=(t﹣)2+,
∴当t=时,四边形PDCQ的面积最小,最小面积为.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=BD,∠BAD=50°,∠C=30°.
(1)求∠BAC的度数;
(2)取AD的中点E,连接BE并延长交AC于点F.求证:AB=BF.
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【题目】 今年“五一”假期,某教学活动小组组织一次登山活动,他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点,再从B点沿斜坡BC到达山顶C点,路线如图所示,斜坡AB的长为200米,斜坡BC的长为200米,坡度是1:1,已知A点海拔121米,C点海拔721米
(1)求B点的海拔;
(2)求斜坡AB的坡度;
(3)为了方便上下山,若在A到C之间架设一条钢缆,求钢缆AC的长度.
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【题目】如图,抛物线的顶点为A(-3,-3),此抛物线交x轴于O、 B两点.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)求△AOB的面积 .
(3)若抛物线上另有点P满足S△POB=S△AOB,请求出P坐标.
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【题目】如图,电信部门计划修建一条连接B、C两地电缆,测量人员在山脚A处测得B、C两处的仰角分别是37°和45°,在B处测得C处的仰角为67°.已知C地比A地髙330米(图中各点均在同一平面内),求电缆BC长至少多少米?
(精确到米,参考数据:sin37°≈,tan37°≈,sin67°≈,tan67°≈)
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【题目】已知四边形内接于,对角线于,连接交于点.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,作于,交于,连接,求证:;
(3)在(2)的条件下,连接,若,,,,求长.
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【题目】如图,已知抛物线与轴交于两点(A点在B点的左边),与轴交于点.
(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求的值;
(2)如图1,在(1)的条件下,点在抛物线上,点在抛物线的对称轴上,若以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标;
(3)如图2,过点作直线的平行线交抛物线于另一点,交轴于点,若﹕=1﹕4. 求的值.
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【题目】如图,直线y=x+a与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,抛物线y=x2+bx+c经过点A,B.点M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P,N.
(1)填空:点B的坐标为 ,抛物线的解析式为 ;
(2)当点M在线段OA上运动时(不与点O,A重合),
①当m为何值时,线段PN最大值,并求出PN的最大值;②求出使△BPN为直角三角形时m的值;
(3)若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h,请直接写出此时由点O,B,N,P构成的四边形的面积.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知点M,N的坐标分别为(﹣2,3),(3,2),若抛物线y=ax2﹣x+2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点,则a的取值范围是____.
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