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【题目】如图,点AC分别是一次函数y=﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点,点B与点C关于原点对称,二次函数yx2+bx+c的图象经过点B,且该二次函数图象上存在一点D,使四边形ABCD能构成平行四边形.

1)求二次函数的表达式;

2)动点P从点A到点D,同时动点Q从点C到点A都以每秒1个单位的速度运动,设运动时间为t秒.

①当t为何值时,有PQAC

②当t为何值时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?

【答案】1yx2x3;(2)①当t秒时,PQACt时,四边形PDCQ的面积最小,最小面积为

【解析】

1)先利用一次函数的解析式确定A点和C点坐标,再利用点B与点C关于原点对称得到点B点坐标和BC的长,接着利用平行四边形的性质求出D点坐标,然后把点B和点D的坐标代入二次函数yx2+bx+c得关于bc的方程组,再解方程组求出bc即可得到二次函数表达式;

2)①先利用勾股定理计算出AC5,再利用t表示出APtCQtAQ5t,当PQAC时可证明APQ∽△CAO,则利用相似比得到,解得t,然后解方程求出t即可;

②作QHADH,如图,先证明AQH∽△CAO,利用相似比可表示出QH5t),再根据三角形面积公式,利用S四边形PDCQSACDSAQP得到四边形PDCQ的面积=t2t+12,然后根据二次函数的性质求解.

解:(1)当x0y=﹣x+33,则点A03),

y0,﹣x+30,解得x4,则点C40),

∵点B与点C关于原点对称,

∴点B(﹣40),BC8

∵四边形ABCD是平行四边形,

ADx轴,ADBC8

D83),

将点B(﹣40),点D83)代入二次函数yx2+bx+c,解得

∴二次函数表达式yx2x3

2)①∵A03),C40),

AC5

,当点P运动了t秒时,则APtCQ

②作QHADH,如图,

∵∠HAQ=∠OCA

∴△AQH∽△CAO

,即,解得QH5t),

S四边形PDCQSACDSAQP

38t5t

t2t+12

t2+

∴当t时,四边形PDCQ的面积最小,最小面积为

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