Question

如图，已知直线y=x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y=x²+bx+c经过点A、B，P为直线AB上的一个动点，过P作x轴的垂线与抛物线交于C点．
（1）抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴另一个交点为D，连接AD，证明：△ABD为直角三角形；
（3）在直线AB上是否存在一点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=x+2与x轴交于点B，
∴令y=0得x+2=0，解得x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
∵直线y=x+2与y轴交于点A，
∴令x=0，解得y=2，
∴点A的坐标为（0，2），
∵抛物线y=x²+bx+c经过点A、B，
∴把（0，2），（4，0）分别代入y=x²+bx+c得：，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+2；

（2）连接AD，如图所示：

∵抛物线与x轴另一个交点为D，
∴令y=0得-x²+x+2=0，解得x₁=4，x₂=-1，
又点D在x轴的负半轴上，
∴点D的坐标为（-1，0），
在直角三角形AOB中，OA=2，OB=4，
根据勾股定理得：AB²=2²+4²=20，
在直角三角形AOD中，OA=2，OD=1，
根据勾股定理得：AD²=2²+1²=5，
又BD²=（OD+OB）²=（1+4）²=25，
∴BD²=AB²+AD²，
则△ABD为直角三角形；

（3）设点P的坐标为（x，-x+2），
∵PC⊥x轴，
∴点C的横坐标为x，又点C在抛物线上，
∴点C（x，-x²+x+2），
①当点P在第一象限时，假设存在这样的点P，使AOPC为平行四边形，

则OA=PC=2，即-x²+x+2-（-x+2）=2，
化简得：x²-4x+4=0，
解得x=2或x=-2（舍去）
把x=2代入y=-x+2=1，
则点P的坐标为（2，1）；
②当点P在第二象限时，假设存在这样的点P，使AOCP为平行四边形，

则OA=PC=2，即-x+2-（-x²+x+2）=2，
化简得：x²-4x-4=0，
解得：x=2+2（舍去）或x=2-2，
把x=2-2代入y=-x+2=1+，
则点P的坐标为（2-2，1+）；
③当点P在第四象限时，假设存在这样的点P，使AOCP为平行四边形，

则OA=PC=2，即-x+2-（-x²+x+2）=2，
化简得：x²-4x-4=0，
解得：x=2+2或x=2-2（舍去），
把x=2+2代入y=-x+2=1-，
则点P的坐标为（2+2，1-），
综上，使以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形，
满足的点P的坐标为（2，1）；（2-2，1+）；（2+2，1-）．
分析：（1）令一次函数y=x+2中x=0，求出对应y的值，即为A的纵坐标，令y=0，求出对应x的值，即为B的横坐标，确定出A和B的坐标，将A和B的坐标代入y=x²+bx+c中，得到关于b与c的方程组，求出方程组的解集得到b和c的值，确定出抛物线的解析式；
（2）连接AD，如图所示，由抛物线的解析式，令y=0求出x的值，得到D的横坐标，确定出OD的长，在直角三角形AOD中，由AO及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，再由OD+OB求出BD的长，在直角三角形AOB中，由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长，由AD，AB及BD的长，得到BD²=AB²+AD²，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABD为直角三角形；
（3）存在，由P为直线上的点设出点P的坐标，P与C的横坐标相同，进而由C在抛物线上确定出C的坐标，分三种情况考虑：当P在第一象限时，画出相应的图形，如图所示，根据平行四边形的对边相等，得到OA=CP，由OA的长得到CP的长，即为C与P纵坐标之差，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，确定出此时P的坐标；当P在第二象限时，如图所示，根据平行四边形的对边相等得到OA=PC，由OA的长得到CP的长，即为P与C的纵坐标之差，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，确定出此时P的坐标；当P在第四象限时，如图所示，根据平行四边形的对边相等得到OA=PC，由OA的长得到CP的长，即为P与C的纵坐标之差，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标．
点评：此题属于二次函数的综合题，结合了平行四边形的性质，二元一次方程组，及坐标系的有关知识为一体，考查了学生综合解决问题的能力，同时体现了分类讨论的思想，分类思想是一种重要的数学思想方法，在分类讨论、分情况证明数学命题时，必须认真审题，全面考虑．做到不重不漏，一次分类必须按照统一标准进行，分出的每一部分都是相互独立的，分类思想一般根据数量差异与位置差异进行分类．