Question

18．如图1，点M放在正方形ABCD的对角线AC（不与点A重合）上滑动，连结DM，做MN⊥DM交直线AB于N．

（1）求证：DM=MN；
（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且DC=2AD，求MD：MN；
（3）在（2）中，若CD=nAD，当M滑动到CA的延长线上时（如图3），请你直接写出MD：MN的比值．

Answer 1

分析 （1）过M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，则∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，根据ASA即可判定△MDP≌△MNQ，进而根据全等三角形的性质得出DM=MN；
（2）过M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，则∠WMS=90°，根据∠DMW=∠NMS，∠MSN=∠MWD=90°，判定△MDW∽MNS，得出MD：MN=MW：MS=MW：WA，再根据△AWM∽△ADC，DC=2AD，即可得出MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；
（3）过M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，则易得△NMX∽△DMR，得出MD：MN=MR：MX=AX：MX，再由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD，得出AX：MX=CD：AD，最后根据CD=nAD，即可得出MD：MN=CD：AD=n．

解答 解：（1）证明：过M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，则∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠DMP=∠NMQ，
∵ABCD是正方形，
∴AC平分∠DAB，
∴PM=MQ，
在△MDP和△MNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MQN=∠MPD}\\{PM=MQ}\\{∠DMP=∠NMQ}\end{array}\right.$，
∴△MDP≌△MNQ（ASA），
∴DM=MN；

（2）过M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，则∠WMS=90°，
∵MN⊥DM，
∴∠DMW=∠NMS，
又∵∠MSN=∠MWD=90°，
∴△MDW∽MNS，
∴MD：MN=MW：MS=MW：WA，
∵MW∥CD，
∴∠AMW=∠ACD，∠AWM=∠ADC，
∴△AWM∽△ADC，
又∵DC=2AD，
∴MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；

（3）MD：MN=n，
理由：过M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，则易得△NMX∽△DMR，
∴MD：MN=MR：MX=AX：MX，
由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD，
∴AX：MX=CD：AD，
又∵CD=nAD，
∴MD：MN=CD：AD=n．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形、矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，运用相似三角形和全等三角形的性质进行推导即可．