Question

（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．
（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（3）比较大小（在空格处填写“＞”“=”“＜”号），若α=45°，则sinα

 

cosα；若0°＜α＜45°，则sinα

 

cosα；若45°＜α＜90°，sinα

 

 cosα．

Answer 1

分析：（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．
（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．
（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．

解答：解：
（1）在图中，令AB₁=AB₂=AB₃，B₁C₁⊥AC于点C₁，B₂C₂⊥AC于点C₂，B₃C₃⊥AC于点C₃，
显然有：B₁C₁＞B₂C₂＞B₃C₃，∠B₁AC＞∠B₂AC＞∠B₃AC．
∵sin∠B₁AC=

B1C1

AB1

，sin∠B₂AC=

B2C2

AB2

，sin∠B₃AC=

B3C3

AB3

，
而

B1C1

AB1

＞

B2C2

AB2

＞

B3C3

AB3

，
∴sin∠B₁AC＞sin∠B₂AC＞sin∠B₃AC．
在图中，Rt△ACB3中，∠C=90°，
cos∠B₁AC=

AC

AB1

，cos∠B₂AC=

AC

AB2

，cos∠B₃AC=

AC

AB3

，
∵AB₃＞AB₂＞AB₁，
∴

AC

AB1

＞

AC

AB2

＞

AC

AB3

．
即cos∠B₃AC＜cos∠B₂AC＜cos∠B₁AC；
结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．

（2）由（1）可知：
sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．

（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
故答案为：=，＜，＞．

点评：本题考查了锐角三角函数的增减性，理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法．