Question

6．如图1，抛物线y=ax²+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C₁，△AEN的周长为C₂，若$\frac{{C}_{1}}{{C}_{2}}$=$\frac{6}{5}$，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+$\frac{2}{3}$E′B的最小值．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．
（2）由△PNM∽△ANE，推出$\frac{PN}{AN}$=$\frac{6}{5}$，列出方程即可解决问题．
（3）在y轴上 取一点M使得OM′=$\frac{4}{3}$，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+$\frac{2}{3}$E′B的最小值．

解答 解：（1）令y=0，则ax²+（a+3）x+3=0，
∴（x+1）（ax+3）=0，
∴x=-1或-$\frac{3}{a}$，
∵抛物线y=ax²+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴-$\frac{3}{a}$=4，
∴a=-$\frac{3}{4}$．
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3．

（2）如图1中，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴$\frac{PN}{AN}$=$\frac{6}{5}$，
∵NE∥OB，
∴$\frac{AN}{AB}$=$\frac{AE}{OA}$，
∴AN=$\frac{5}{4}$（4-m），
∵抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3，
∴PN=-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m+3-（-$\frac{3}{4}$m+3）=-$\frac{3}{4}$m²+3m，
∴$\frac{-\frac{3}{4}{m}^{2}+3m}{\frac{5}{4}（4-m）}$=$\frac{6}{5}$，
解得m=2．

（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′=$\frac{4}{3}$，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．

∵OE′=2，OM′•OB=$\frac{4}{3}$×3=4，
∴OE′²=OM′•OB，
∴$\frac{OE′}{OM′}$=$\frac{OB}{OE′}$，∵∠BOE′=∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴$\frac{M′E′}{BE′}$=$\frac{OE′}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
∴M′E′=$\frac{2}{3}$BE′，
∴AE′+$\frac{2}{3}$BE′=AE′+E′M′=AM′，此时AE′+$\frac{2}{3}$BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值=AM′=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+$\frac{2}{3}$E′B的最小值，属于中考压轴题．