Question

【题目】已知△ABC中，D为AB边上任意一点，DF∥AC交BC于F，AE∥BC，∠CDE=∠ABC=∠ACB=α．

（1）如图1，当α=60°时，求证：△DCE是等边三角形．
（2）如图2．当α=45°时，求证：① = ；②CE⊥DE．
（3）如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE与DE的数量关系（用α表示）

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1中，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴BC=BA，

∵DF∥AC，

∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，

∴△BDF是等边三角形，

∴BF=BD，

∴CF=AD，∠CFD=120°，

∵AE∥BC，

∴∠B+∠DAE=180°，

∴∠DAE=∠CFD=120°，

∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，

∵∠CDE=∠B=60°，

∴∠FCD=∠ADE，

∴△CFD≌△DAE，

∴DC=DE，∵∠CDE=60°，

∴△CDE是等边三角形

（2）证明：①如图2中，作FG⊥AC于G．

∵∠B=∠ACB=45°，

∴∠BAC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵DF∥AC，

∴∠BDF=∠BAC=90°，

∴∠BFD=45°，∠DFC=135°，

∵AE∥BC，

∴∠BAE+∠B=180°，

∴∠DFC=∠DAE=135°，

∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，

∵∠CDE=∠B=45°，

∴∠FCD=∠ADE，

∴△CFD∽△DAE，

∴ = ，

∵四边形ADFG是矩形，FC= FG，

∴FG=AD，CF= AD，

∴ = ，

②作CE′⊥DE于E′

∵∠CDE=45°，

∴DE′=CDcos45°= CD，

∵DE= CD，

∴点E与点E′重合，

∴CE⊥DE

（3）解：如图3中，设AC与DE交于点O．

∵AE∥BC，

∴∠EAO=∠ACB，

∵∠CDE=∠ACB，

∴∠CDO=∠OAE，∵∠COD=∠EOA，

∴△COD∽△EOA，

∴ = ，

∴ = ，∵∠COE=∠DOA，

∴△COE∽△DOA，

∴∠CEO=∠DAO．

∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，

∵∠CDE=∠B=∠ACB，

∴∠EDC=∠ECD，

∴EC=ED，

∴ =1．

故答案为1

【解析】（1）要证△DCE是等边三角形，证明△CFD≌△DAE即可；（2）①如图2中，作FG⊥AC于G．只要证出△CFD∽△DAE，推出，再证明CF=AD即可；②作CE′⊥DE于E′，只要证明点E与点E′重合即可；（3）根据相似三角形的判定及性质证明EC=ED即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．