Question

【题目】已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，

（1）证明：∠APO+∠DCO＝30°；

（2）判断△OPC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）等边三角形，理由见解析

【解析】

（1）利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；

（2）证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形．

（1）连接OB．

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°

∴AD⊥BC，

∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°，

∵OP＝OC，

∴OB＝OC＝OP，

∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，

∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；

（2）等边三角形；

∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，

∴∠APC+∠DCP＝150°，

∵∠APO+∠DCO＝30°，

∴∠OPC+∠OCP＝120°，

∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，

∵OP＝OC，

∴△OPC是等边三角形．