Question

15．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）如图1直线y=kx+1（k＞0）与抛物线第一象限的部分交于D点，交y轴于F点，交线段BC于E点．求$\frac{DE}{EF}$的最大值；
（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A、B的坐标带入到抛物线解析式中，得出关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）作DN∥CF交CB于N，由DN∥CF可得出△DEN∽△FEC，根据相似三角形的性质得出$\frac{DE}{EF}=\frac{DN}{CF}$，由（1）可得出抛物线的解析式，令抛物线解析式中x=0则可得出点C的坐标，由点B、C的坐标可得出直线BC的解析式，设出点D的坐标，则可得出点N的坐标，由直线DF的解析式可得出点F的坐标，从而得出DN、CF的长度，由DN的长度结合二次函数的性质即可得出结论；
（3）假设存在符合题意的点Q．设PM与x轴交于点G，过点G作作直线BC的平行线．由抛物线的解析式可得出顶点P的坐标，由此得出对称轴的解析式，结合直线BC的解析式可得出点M的坐标，结合点G的坐标可知PM=GM，由此得出满足题意的点Q为“过点G与直线BC平行的直线和抛物线的交点”，由G点的坐标结合直线BC的解析式即可得出过点G与BC平行的直线的解析式，联立直线与抛物线解析式得出关于x、y的二元二次方程组，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）将点A（-1，0）、B（3，0）带入到抛物线解析式中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=-1-b+c}\\{0=-9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
（2）作DN∥CF交CB于N，如图1所示．

∵DN∥CF，
∴△DEN∽△FEC，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{DN}{CF}$．
∵抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
令直线y=kx+1中x=0，则y=1，
即点F的坐标为（0，1）．
设点D的坐标为（m，-m²+2m+3），则点N的坐标为（m，-m+3），
∴DN=-m²+3m，CF=3-1=2，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{DN}{CF}$=$\frac{-{m}^{2}+3m}{2}$，
∵DN=-m²+3m=-$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$的最大值为$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{DE}{EF}$的最大值为$\frac{9}{8}$．
（3）假设存在符合题意的点Q．
∵抛物线的解析式为y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴P点的坐标为（1，4），PM的解析式为x=1，
∵直线BC的解析式为y=-x+3，
∴M的坐标为（1，2），
∵点G的坐标为（1，0），
∴PM=GM=2．
设PM与x轴交于点G，过点G作作直线BC的平行线，如图2所示．

∴过点G与BC平行的直线为y=-x+1．
联立直线与抛物线解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$．
∴点Q的坐标为（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
∵平行线间距离处处相等，且点M为线段PG的中点，
∴点Q到直线BC的距离与点P到直线的距离相等．
故在直线BC下方的抛物线上存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等，点Q的坐标为（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质、二次函数的性质以及解二元二次方程组，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）由二次函数的性质解决最值问题；（3）由直线与抛物线相交得出二元二次方程组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，联立直线与抛物线的解析式得出关于x、y的二元二次方程组，通过解方程组来求出交点坐标是关键．