Question

若两个直角三角形的周长比等于一组对应的直角边之比，则这两个三角形相似吗？请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：常规题型

分析：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，有勾股定理得AB=

a2+b2

，在△DEF中，∠E=90°，EF=ak，DE=x，有勾股定理得DF=

(ak)2+x2

，再利用两个直角三角形的周长比等于一组对应的直角边之比得到

x+ak+ (ak)2+x2

b+a+ a2+b2

=

ak

a

=k，则x-bk+

(ak)2+x2

-k

a2+b2

=0，利用实数的性质得到x-bk=0，即x=bk，于是由BC：FE=AC：DE，则可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到△ACB∽△DEF．

解答：解：相似．理由如下：
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，则AB=

a2+b2

，
在△DEF中，∠E=90°，EF=ak，DE=x，则DF=

(ak)2+x2

，
∵两个直角三角形的周长比等于一组对应的直角边之比，
∴

x+ak+ (ak)2+x2

b+a+ a2+b2

=

ak

a

=k，
∴x+ak+

(ak)2+x2

=k（b+a+

a2+b2

），
∴x-bk+

(ak)2+x2

-k

a2+b2

=0，
∴x-bk=0，
∴x=bk，
∴BC：FE=AC：DE，
而∠ACB=∠DEF，
∴△ACB∽△DEF，
∴若两个直角三角形的周长比等于一组对应的直角边之比，则这两个三角形相似．

点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．