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    问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶

    点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？

    问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：

    探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互

    不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．

    探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个

    互不重叠的小三角形？

    在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种

    情况：

    一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②；

    另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA上，如图③．

    显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．

    探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC分割成      个

    互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．

    探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m＋3)个点为顶点，可把△ABC分割成        个

    互不重叠的小三角形．

    探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m＋4)个点为顶点，可把四边形分割成

            个互不重叠的小三角形．

    问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成

            个互不重叠的小三角形．

    实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互

    不重叠的小三角形？(要求列式计算)

     

    【答案】

    探究三： 7，分割示意图见解析；探究四：2m+1；探究拓展：2m＋2；问题解决： 2m＋n－2；实际应用：4030

    【解析】解：探究三： 7。分割示意图如下（答案不唯一）：

    探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（1－1），

    三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（2-1），

    三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（3-1），

    …，

    所以，三角形内部有m个点时，共分割成3＋2（m－1）=2m+1部分。

    探究拓展：2m＋2。

    问题解决： 2m＋n－2。

    实际应用：把n=8，m=2012代入上述代数式，得

    2m＋n－2=2×2012＋8－2=4024＋8－2=4030。

    探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可。

    探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可。

    探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解。

    问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解。

    实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解。

     

    练习册系列答案
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    问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊性的策略，先从简单和具体的情形入手：
    探究一：以△ABC的三个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
    如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．
    探究二：以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
    在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：
    一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨假设点Q在△PAC内部，如图②；
    另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨假设点Q在PA上，如图③．
    显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个不重叠的小三角形．
    探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点可把△ABC分割成
    7
    7
    个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．
    探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个顶点可把△ABC分割成
    （2m+1）
    （2m+1）
    个互不重叠的小三角形．
    探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个顶点可把四边形分割成
    （2m+2）
    （2m+2）
    个互不重叠的小三角形．
    问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个顶点可把△ABC分割成
    （2m+n-2）
    （2m+n-2）
    个互不重叠的小三角形．
    实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
    问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手，通过观察、分析，最后归纳出结论：
    探究一：以△ABC的三个顶点和它内部的一个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
    如图（1），显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．
    探究二：以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？

    在探究一的基础上，我们可看作在图（1）△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图（1）分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在△PAC内部，如图（2）；另一种情况，点Q在图（1）分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在P上，如图（3）；显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．
    探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点，共6个点为顶点可把△ABC分割成
    7
    7
    个互不重叠的小三角形．
    探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点可把△ABC分割成
    3+2（m-1）或2m+1
    3+2（m-1）或2m+1
    个互不重叠的小三角形．
    探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成
    4+2（m-1）或2m+2
    4+2（m-1）或2m+2
    个互不重叠的小三角形．
    问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点为顶点，可把△ABC分割成
    n+2（m-1）或2m+n-
    n+2（m-1）或2m+n-
    个互不重叠的小三角形．
    实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的m个点，共（m+8）个点为顶点，可把八边形分割成2013个互不重叠的小三角形吗？若行，求出m的值；若不行，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2012年初中毕业升学考试（山东青岛卷）数学（带解析） 题型：解答题

    问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶
    点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
    问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
    探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互
    不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．
    探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个
    互不重叠的小三角形？
    在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种
    情况：
    一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②；
    另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA上，如图③．
    显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．
    探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC分割成     个
    互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．
    探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m＋3)个点为顶点，可把△ABC分割成       个
    互不重叠的小三角形．
    探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m＋4)个点为顶点，可把四边形分割成
           个互不重叠的小三角形．
    问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成
           个互不重叠的小三角形．
    实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互
    不重叠的小三角形？(要求列式计算)

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    科目：初中数学 来源：山东省中考真题 题型：解答题

    问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊性的策略，先从简单和具体的情形入手：
    探究一：以△ABC的三个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．探究二：以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨假设点Q在△PAC内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨假设点Q在PA上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个不重叠的小三角形．
    探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点可把△ABC分割成 （     ）个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．
    探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个顶点可把△ABC分割成（     ）个互不重叠的小三角形．
    探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个顶点可把四边形分割成（     ）个互不重叠的小三角形．
    问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个顶点可把△ABC分割成（      ）个互不重叠的小三角形．
    实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）

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