阅读与证明:请阅读以下材料.并完成相应的任务．任务:请根据以上材料.证明以下结论:传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagonas.约公元570年-约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如.他们研究过1.3.6.10-由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示.他们就将其称为三角形数.第n个三角形数可� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．阅读与证明：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
任务：请根据以上材料，证明以下结论：
传说古希腊毕达哥拉斯（Pythagonas，约公元570年-约公元前500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6，10…由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数，第n个三角形数可以用$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥1）表示．
任务：请根据以上材料，证明以下结论：

（1）任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；
（2）连续两个三角形数的和是一个完全平方数．

分析（1）第n个三角形数$\frac{n（n+1）}{2}$乘8再加1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
（2）分别用n表示出第n、n+1个三角形数，进一步相加整理得出答案即可．

解答证明：（1）∵$\frac{n（n+1）}{2}$×8+1=4n²+4n+1=（2n+1）²，
∴任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；

（2）∵第n个三角形数为$\frac{n（n+1）}{2}$，第n+1个三角形数为$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
∴这两个三角形数的和为：$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$=$\frac{（n+1）（2n+2）}{2}$=（n+1）²，
即连续两个三角形数的和是一个完全平方数．

点评此题考查图形与数字的变化规律及完全平方数，用字母表示出第n个三角形数，利用完全平方公式因式分解是解决问题的关键．

练习册系列答案

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10．下列各式计算正确的是（　　）

A．

a³•a=a⁴

B．

2a³+a³=3a⁶

C．

（-a²b）³=a⁶b³

D．

（b+2a）（2a-b）=b²-4a²

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3．在矩形ABCD上有一个动点P，点P沿AD-DC-CA运动，并且不与点A重合，连接BP，以BP为直角边作等腰直角三角形BPQ，AB=6，AD=4．

（1）当点P沿AD-DC-CA运动时，求出等腰直角三角形BPQ面积的最大值；
（2）当点P在AD上运动时，△BPQ的边PQ与DC交于点E，如图1所示，若AP：AD=1：2时，AB：PD的值为3；若AP：AD=1：n时，AB：PD的值为$\frac{3n}{2（n-1）}$；
（3）如图2所示，当点P（不与点D、C重合）在DC上运动时，请你判断梯形ABPD的面积是否可为△BPQ面积的4倍？若可以，请求出PC的长度；若不可以，请说明理由；
（4）如图3所示，当点P运动到CA的延长线上时，请你直接写出BP：PF的值．

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20．

如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度（即tanα）为1：1.2，坝高10米，为了提高坝的防洪能力，由相关部门决定加固堤坝，要求将坝顶CD加宽2米，形成新的背水坡EF，其坡度为1：1.4，已知堤坝总长度为1000米．
（1）求完成该工程需要多少土方？
（2）该工程由甲、乙两工程队同时合作完成，按计划需20天，准备开工前接到上级要求，汛期可能提前，要求两工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？

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7．

已知：如图，∠B=∠C，AB=DC．求证：∠EAD=∠EDA．