Question

17．如图，每个网格都是边长为1个单位的小正方形，△ABC的每个顶点都在网格的格点上，且∠C=90°，AC=3，BC=4．
（1）试在图中作出△ABC以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后得到的图形△AB₁C₁；
（2）试在图中建立直角坐标系，使x轴∥AC，且点B的坐标为（-3，5）；
（3）在（1）与（2）的基础上，若点P、Q是x轴上两点（点P在点Q左侧），PQ长为2个单位，则当点P的坐标为（$\frac{2}{5}$，0）时，AP+PQ+QB₁最小，最小值是2+$\sqrt{29}$个单位．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，即可作出图形；
（2）由使x轴∥AC，且点B的坐标为（-3，5），即可作出平面直角坐标系；
（3）将点A向右平移2个单位到点A₁，然后作点A₁关于x轴的对称点A₂，连接B₁A₂，交x轴于点Q，然后求得直线A₂B₁的解析式，即可求得点Q的坐标，继而求得答案．

解答 解：（1）如图1：

（2）如图1：

（3）将点A向右平移2个单位到点A₁，然后作点A₁关于x轴的对称点A₂，连接B₁A₂，交x轴于点Q，（根据两点之间线段确定点Q的坐标）
根据题意得点A₂的坐标为：（2，-1），点B₁的坐标为：（4，4），
设直线A₂B₁的解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-1}\\{4k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线A₂B₁的解析式为：y=$\frac{5}{2}$x-6，
∴点Q的坐标为：（$\frac{12}{5}$，0），
∵PQ=2，
∴点P坐标：（$\frac{2}{5}$，0）；
∴AP=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{29}}{5}$，B₁Q=$\sqrt{（4-\frac{2}{5}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{29}}{5}$，
∴最小值：2+$\sqrt{29}$．
故答案为：（$\frac{2}{5}$，0），2+$\sqrt{29}$．

点评 此题考查了旋转的性质以及最短路径问题．注意找到点P与Q的位置是关键．