Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②BD=1+；③BE+DF=EF；④∠AEB=75°．其中正确的序号是______．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断④的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据三线合一的性质，可判定AC⊥EF，然后分别求得AG与CG的长，继而求得答案．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，，

∴Rt△ABERt△ADF（HL），

∴BE=DF，

∵BC=DC，

∴BC-BE=CD-DF，

∴CE=CF，故①正确；

∵CE=CF，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°，

∵∠AEF=60°，

∴∠AEB=75°，故④正确；

如图，连接AC，交EF于G点，

∴AC⊥EF，且AC平分EF，

∵∠CAF≠∠DAF，

∴DF≠FG，

∴BE+DF≠EF，故③错误；

∵△AEF是边长为2的等边三角形，∠ACB=∠ACD，

∴AC⊥EF，EG=FG，

∴AG=AEsin60°=2×=，CG=EF=1，

∴AC=AG+CG=+1；故②正确．

故答案为：①②④．