Question

6．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E．若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OD，设⊙O的半径为R，先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BAD=60°，再根据垂径定理由CD⊥AB得到DE=CE，在Rt△ODE中，OE=OB-BE=R-2，利用余弦的定义得cos∠EOD=cos60°=$\frac{OE}{OD}$，即$\frac{R-2}{R}$=$\frac{1}{2}$，解得R=4，则OE=2，DE=$\sqrt{3}$OE=2$\sqrt{3}$，所以CD=2DE=4$\sqrt{3}$．

解答 解：连结OD，如图，设⊙O的半径为R，
∵∠BAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∵CD⊥AB，
∴DE=CE，
在Rt△ODE中，OE=OB-BE=R-2，OD=R，
∵cos∠EOD=cos60°=$\frac{OE}{OD}$，
∴$\frac{R-2}{R}$=$\frac{1}{2}$，解得R=4，
∴OE=4-2=2，
∴DE=$\sqrt{3}$OE=2$\sqrt{3}$，
∴CD=2DE=4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．