Question

13．如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y=$\frac{k}{x}$，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′．设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是4≤t≤2$\sqrt{5}$或-2$\sqrt{5}$≤t≤-4．

Answer 1

分析 当点O′与点A重合时，即点O与点A重合，进一步解直角三角形AOB，利用轴对称求得此时点P的坐标，即t的最小值；然后求出B′在双曲线上时，P的坐标即可．

解答 解：当点O′与点A重合时，
∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后是O′B′，AP=OP，
∴△AOP′是等边三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴点P的坐标是（4，0），
即当P的坐标是（4，0）时，直线O?B?与双曲线有交点O′；
当B′在双曲线上时，作B′C⊥OP于C，
∵BP=B′P，∠B′BP=60°，
∴△BB′P是等边三角形，
∴BP=B′P=t-2，
∴CP=$\frac{1}{2}$（t-2），B′C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-2），
∴OC=OP-CP=$\frac{1}{2}$t+1，
∴B′的坐标是（$\frac{1}{2}$t+1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-2）），
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2$\sqrt{3}$，
∴A（2，2$\sqrt{3}$），
∵A和B′都在双曲线上，
∴（$\frac{1}{2}$t+1）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-2））=2×2$\sqrt{3}$，
解得：t=±2$\sqrt{5}$，
∴t的取值范围是4≤t≤2$\sqrt{5}$或-2$\sqrt{5}$≤t≤-4．
故答案为：4≤t≤2$\sqrt{5}$或-2$\sqrt{5}$≤t≤-4．

点评 本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，解不等式，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根的判别式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．