Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点D在⊙O外，∠BAD的平分线与⊙O交于点C，连接BC、CD，且∠D＝90°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若∠DCA＝60°，BC＝3，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）π

【解析】

（1）连接OC，只需证明∠OCD＝90°即可；

（2）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，即可求得∠OCB＝60°，得到△OBC是等边三角形，可求得半径为3，弧BC的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可．

解：（1）证明：连接OC，

∵AC是∠BAD的平分线，

∴∠CAD＝∠BAC，

又∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠OCA＝∠CAD，

∴OC∥AD，

∴∠OCD＝∠D＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠ACD＝60°，

∴∠OCA＝30°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠OCB＝60°，

∵OC＝OB，

∴△OCB是等边三角形，

∴OB＝OC＝BC＝3，∠COB＝60°，

∴的长：．