【题目】如图,已知,将一个直角的顶点置于点,并将它绕着点旋转,两条直角边分别交射线于点,交的延长线于点,联结交于点,设.
(1)当时,求的长;
(2)若,求关于的函数关系式及定义域;
(3)旋转过程中,若,求此时的长.
【答案】(1);(2)y=x+4(0≤x≤);(3).
【解析】
(1)首先证明,∠CBE=90°,∠BCE=30°,根据tan30°=,即可解决问题.
(2)如图2中,作DM⊥BC于M.只要证明△DCM∽△CEB,得,由此即可解决问题.
(3)先证明∠EDA=∠EDC,由EA⊥DA,EC⊥DC,推出EA=EC=x+3,在Rt△BCE中,根据EC2=BE2+BC2,列出方程即可解决问题.
解:(1)如图1中,
∵∠DCE=90°,∠DCF=60°,
∴∠BCE=30°,
∵AB⊥BC,
∴∠CBE=90°,
∴tan30°=,
∴
∴BE=.
(2)如图2中,作DM⊥BC于M.
∵AG∥BC,AB⊥BC,
∴AG⊥AB,
∴∠A=∠ABM=∠DMB=90°,
∴四边形ABMD是矩形,
∴BM=AD=y,AB=DM=3,CM=4-y,
∵∠DCM+∠CDM=90°,∠DCM+∠BCE=90°,
∴∠CDM=∠BCE,∵∠DMC=∠CBE,
∴△DCM∽△CEB,
∴
∴,
∴y=x+4
由题意可得 ,即
解得:0≤x≤
∴y=x+4(0≤x≤)
(3)如图3中,
∵CD=CF,
∴∠CDF=∠CFD,
∵AG∥BC,
∴∠CFD=∠ADF,
∴∠EDA=∠EDC,
∵EA⊥DA,EC⊥DC,
∴EA=EC=x+3,
在Rt△BCE中,∵EC2=BE2+BC2,
∴(x+3)2=x2+42,
∴x=,
∴BE=.
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【题目】如图,已知,在边上顺次取点,,…,在边上顺次取点,,…,使得…,得到等腰△,△,△,△…
(1)若=30°,可以得到的最后一个等腰三角形是_________;
(2)若按照上述方式操作,得到的最后一个等腰三角形是△,则的度数的取值范围是________.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP,则△AOP面积的最大值为( )
A. 4 B. C. D.
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【题目】图1是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线剪开,可分成四块小长方形.
(1)求出图1的长方形面积;
(2)将四块小长方形拼成一个图2的正方形.利用阴影部分面积的不同表示方法,直接写出代数式(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系;
(3)把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部(如图3),未被覆盖的部分用阴影表示.求两块阴影部分的周长和(用含m、n的代数式表示).
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【题目】如图,AC是⊙O的直径,点B,D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAB=∠D=30°.
(1)∠C的度数为 ;
(2)求证:AE是⊙O的切线;
(3)当AB=3时,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π).
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),其中点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),求h的取值范围;
(3)设点P是抛物线上且在x轴上方的任一点,点Q在直线l:x=﹣3上,△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由.
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