Question

【题目】如图，把一个量角器与一块30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线CP绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB重合，就停止旋转．在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．连接BE．

（1）设旋转x秒后，点E处的读数为y°，则y与x的函数关系式________．

（2）当CP旋转________秒时，△BCE是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）y=4x（0≤x≤45）；（2）7.5或30

【解析】

（1）由题意∠ACE=2x°，∠AOE=y°，根据圆周角定理可知∠AOE=2∠ACE，可得y=4x（0≤x≤45）；
（2）分两种情形分别讨论求解即可，①如图，当BE=EC时，则有EO垂直平分BC，先根据平行线的性质求出∠AOE=∠BAC=30°，再利用圆周角定理得出∠ACE的度数，从而可得出结果；②当BC=BE时，则有OB垂直平分EC，先判定△BOE是等边三角形，再求出∠AOE的度数，再利用圆周角定理得出∠ACE的度数，从而可得出结果．

解：（1）如图，由题意知∠ACE=2x°，∠AOE=y°，

又∠ACB=90°，∴点C在以O为圆心，AB为直径的圆上，

又MN=AB，∴点C也在以MN为直径的圆上，

∴∠AOE=2∠ACE=4x°，

故答案为：y=4x（0≤x≤45）；

（2）①如图，当BE=EC时，

连接OC，则OB=OC，又EB=EC，

∴EO垂直平分BC，

∵AC⊥BC，∴EO∥AC，

∴∠AOE=∠BAC=30°，

∴∠ACE=∠AOE=15°，

t=15÷2=7.5（秒）．

②如图，当BC=BE时，

连接OC，则OE=OC，又BC=BE，

∴OB垂直平分EC，

∴∠OBE=∠OBC=60°，

又OE=OB，

∴△BOE是等边三角形，

∴∠AOE=120°，

∴∠ACE=∠AOE=60°，

∴t=60÷2=30（秒）．

综上可知，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形．

故答案为：7.5或30．