Question

11．在一个△ABC中，如果①两腰相等（AB=AC）；②AD是顶角的平分线；③AD是底边上的高；④AD是底边上的中线，这四个条件中具备其中两个，那么可以推出另外两个成立吗？

Answer 1

分析 （1）选择①②作条件，如图1，通过△ABD≌△ACD，得到BD=CD，∠ADB=∠ADC=$\frac{1}{2}∠BDC=\frac{1}{2}×180°$=90°，得到AD⊥BC，于是得到③AD是底边上的高；④AD是底边上的中线，均成立；
（2）通过△ABD≌△ACD，得到∠1=∠2，BD=CD，于是得到②AD是顶角的平分线；④AD是底边上的中线，均成立；
（3）通过△ABD≌△ACD，得到∠1=∠2，∠ADB=∠ADC=$\frac{1}{2}∠BDC=\frac{1}{2}×180°$=90°，推出AD⊥BC，于是得到②AD是顶角的平分线；③AD是底边上的高，均成立；
（4）通过△ABD≌△ACD，得到AB=AC，BD=CD，∴①④均成立，
（5）如图2延长AD至E，使DE=AD，连接CE．通过△ABD≌△ECD，得到AB=EC，∠1=∠E于是得到CE=AC=AB，得到AD⊥BC，即①③成立；
（6）选择③④作条件，通过△ABD≌△ACD，于是得到AB=AC，∠1=∠2，即①②成立．

解答 证明：（1）选择①②作条件，如图1，
在△ABD和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠1=∠2}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=$\frac{1}{2}∠BDC=\frac{1}{2}×180°$=90°，
∴AD⊥BC，
∴③AD是底边上的高；④AD是底边上的中线，均成立；
（2）选择①③作条件，
在△ABD和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AD=AD}\\{∠ADB=∠ADC=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠1=∠2，BD=CD，
∴②AD是顶角的平分线；④AD是底边上的中线，均成立；
（3）选择①④作条件，
在△ABD和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠1=∠2，∠ADB=∠ADC=$\frac{1}{2}∠BDC=\frac{1}{2}×180°$=90°，
∴AD⊥BC，
∴②AD是顶角的平分线；③AD是底边上的高，均成立；
（4）选择②③作条件，
在△ABD和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AD=AD}\\{∠ADB=∠ADC=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，BD=CD，∴①④均成立，
（5）选择②④作条件，
如图2延长AD至E，使DE=AD，连接CE．
在△ABD和△ECD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠3=∠4}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=EC，∠1=∠E
∵∠1=∠2，
∴∠E=∠2
∴CE=AC=AB，
∴AD⊥BC，
∴①③成立；
（6）选择③④作条件，
在△ABD和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AD=AD}\\{∠ADB=∠ADC=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，∠1=∠2，
∴①②成立．
∴四个条件中具备其中两个，那么可以推出另外两个成立．

点评 考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一定理，全等三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．