Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，点Q从C开始沿CD边向D移动，速度是每秒1厘米，点P从A开始沿AB向B移动，速度是点Q速度的a倍，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为t秒．已知当t=时，四边形APQD是平行四边形．

（1）求a的值；
（2）线段PQ是否可能平分对角线BD？若能，求t的值，若不能，请说明理由；
（3）若在某一时刻点P恰好在DQ的垂直平分线上，求此时t的值．

Answer 1

（1）a=3
（2）t=3
（3）

解：（1）∵四边形APQD是平行四边形
∴6-=，即：                …………（2分）
（2）若线段PQ平分对角线BD，即DO=BO
则△DOQ≌△BOP        …………（4分）
∴DQ=BP
即：6-t="12-3t " 解得t="3   " …………（5分）
（3）分别过点C、D作CN⊥AB，DM⊥AB，交AB于点M、N

可得：四边形DNPM是矩形，△DAM≌△CBN
∴AM=="3                  " …………（6分）
∵点P恰好在DQ的垂直平分线EP上
∴PD=PQ，DM=DQ，四边形DNPM是矩形
∴DM=NP
即：，解得：  …………（8分）