Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），C（0，1），以OA、OC为边在第一象限内作矩形OABC，点D（x，0）（x＞0），以BD为斜边在BD上方做等腰直角三角形BDM，作直线MA交y轴于点N，连接ND．
（1）求证：①A、B、M、D四点在同一圆周上；②ON=OA；
（2）若0＜x≤4，记△NDM的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求出△NDM面积的最大值；
（3）再点D运动过程中，是否存在某一位置，使DM⊥DN？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：①作BD的中点O，连接WO、AO
∵△DMB是等腰直角三角形
∴DM=BM，MO=BO=DO=BD
∵四边形OABC是矩形
∴∠OAB=90°
∴△DAB是直角三角形
∴OA=OD=BD
∴OA=OB=OM=OD
∴A、B、M、D四点在以O为圆心的圆周上
②过M作ME⊥x轴于E，MF⊥直线AB于F
∴∠DEM=∠MEA=∠MFB=90°
∴∠DME=∠BMF，且MD=MB
∴△MDE≌△MBF
∴MF=ME，DE=BF
∵∠MEA=∠MFB=90°，∠OAB=90°
∴四边形MEAF是正方形，
∴∠OAM=45°
∴∠ONA=45°
∴∠ONA=∠OAM
∴ON=OA；

（2）解：①当0＜x≤3时，设M（a，b），则ME=AE，OE=a，AE=ME=AF=2-a．
∵D（x，0）
∴OD=x，DE=BF=a-x，AD=2-x
∵C（0，1），A（2，0），
∴AB=1，OA=2
∴AF=1+a-x，ON=2
∴2-a=1+a-x
∴a=，AE=OE=2-a=
S_△MDN=S_△ADN-S_△MDN=
∴y=
当x=时，S_△MDN最大为
②当3＜x≤4时，过M作ME⊥x轴于E，MF⊥y轴于F，延长AB交MF于H，设M（a，b）
∴AD=x-2，DE=x-a，AE=a-2
∴a-2=1+x-a
∴a=
S_△MDN=
∴y=
故当x=4时，S_△MDN最大为；

（3）解：当0＜x≤3时，显然不存在；当3＜x≤4时，假设存在，则MN²=MD²+DN²，
而MN=，MD²=，DN²=x²+4，
解得x=或，
故不存在D．
分析：（1）①取BD中点P，连接PM，PA，利用圆的定义可证；
②过M作ME⊥x轴于E，MF⊥直线AB于F，则△MDE≌△MBF，得ME=MF，从而得到四边形MFAE是正方形，得∠MAO=∠ONA=45°得ON=OA；
（2）由（1）的②可以设M（a，b），在正方形MEAF中把a、b用含x的式子表示出来，就知道△DAM的高，从S_△MDN=S_△ADN-S_△MDA，而得出结论．
（3）当0＜x＜3时，显然不存在；当3＜x≤4时，假设存在，则根据勾股定理就有MN²=MD²+DN²，从而可以求出D点的坐标．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了四点共圆的证明，等腰直角三角形的性质的运用，三角形全等的判定及运用，勾股定理的运用以及抛物线的最大值等多个知识点．