Question

15、设x₁、x₂、x₃、x₄、x₅均为正整数，且x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤x₁x₂x₃x₄x₅．试求x₅的最大值．

Answer 1

分析：设x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅，利用“换元”思想，令S=x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤x₁x₂x₃x₄x₅．则S≤5x₅，即t=x₁x₂x₃x₄≤5；那么t为1或2或3或4或5，而a，b，c，d则为t的约数．然后分类解答：①当t=5时，求得x₅的值；②当t=4或1时，求得x₅的值；③
当t=2时，求得x₅的值．

解答：解：由于x₁、x₂、x₃、x₄、x₅在式中对称，故不妨设x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅，
并令S=x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤x₁x₂x₃x₄x₅．则S≤5x₅，即t=x₁x₂x₃x₄≤5；
那么t为1或2或3或4或5，而a，b，c，d则为t的约数．
①当t=5时，由于t=1×5，故令x₁=x₂=x₃=1，x₄=5，代入S可得x₅=2，与x₄≤x₅相矛盾，故x₅=2不合题意；
②同理，当t=1或4时均不合题意．当t=3时，x₅=3，符合题意；
③当t=2时，由于t=1×2，令x₁=x₂=x₃=1，x₄=2，代入S可得x₅=5，符合题意；
综上所述，故x₅的最大值为5．

点评：本题考查了函数的最值问题．解答该题时，借助于“换元”法和“反证法”来求x₅的最大值．