如图.四边形ABCD为正方形.E在CD上.∠DAE的平分线交CD于F.BG⊥AF于G.交AE于H．(1)如图.∠DEA=60°.求证:AH=DF,(2)如图.E是线段CD上任一点.请问:AH与DF有何数量关系并证明你的结论,(3)如图.E是线段DC延长线上一点.若F是△ADE中与∠DAE相邻的外角平分线与CD的交点.其它条件不变.请判断AH与DF的数量关系(画图.直接写出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

23、如图，四边形ABCD为正方形，E在CD上，∠DAE的平分线交CD于F，BG⊥AF于G，交AE于H．
（1）如图，∠DEA=60°，求证：AH=DF；

（2）如图，E是线段CD上（不与C、D重合）任一点，请问：AH与DF有何数量关系并证明你的结论；
（3）如图，E是线段DC延长线上一点，若F是△ADE中与∠DAE相邻的外角平分线与CD的交点，其它条件不变，请判断AH与DF的数量关系（画图，直接写出结论，不需证明）．

分析：（1）延长BG交AD于点S，由于AF是HAS的角的平分线，BS⊥AF故有∠HAG=∠SAG，∠HGA=SGA=90°，由AAS证得△AGH≌△AGS，可得AH=AS，再证得△ABS≌△DAF，即可得到DF=AS=AH．
（2）（3）证法相同．

解答：

证明：（1）延长BG交AD于点S
∵AF是HAS的角的平分线，BS⊥AF
∴∠HAG=∠SAG，∠HGA=SGA=90°
又∵AG=AG
∴△AGH≌△AGS
∴AH=AS，
∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAG，
∵∠BAG+∠ABS=∠ABS+∠ASB=90°
∴∠BAG=∠ASB

∴∠ASB=∠AFD
又∵∠BAS=∠D=90°，AB=AD
∴△ABS≌△DAF
∴DF=AS
∴DF=AH．

（2）DF=AH．
同理可证DF=AH．

（3）DF=AH．

点评：本题利用了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等求解．注意三个小题的证明方法一样．即不论点E在CD上还是DC的延长线上结果都一样．

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