Question

已知AB是⊙O的直径，AC，AD是弦，且AB=2，AC=，AD=1，则圆周角∠CAD的度数是（ ）
A．45°或60°
B．60°
C．105°
D．15°或105°

Answer 1

【答案】分析：用圆规以A点为圆心，AO为半径画弧，弧与圆的交点就D，这样的点有两个．连接BC，则∠ACB=90°，利用直角三角形的角边关系可得∠CAB余弦值，进而求得∠CAB的度数，同理可得∠DAB的度数，那么就求得∠CAD的度数．
解答：解：有两种情况，如图所示：
连接BC，则∠ACB=90°．
根据勾股定理可得BC=，即AC=BC，且O为AB的中点，
∴CO⊥AB，即∠AOC=90°，且OA=OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°，
又∵AD₁=OD₁=OA=1，得到△AD₁O为等边三角形，
∴∠D₁AO=60°，
同理∠D₂AO=60°，
则∠DAC=60°-45°=15°或60°+45°=105°．
故选D．
点评：本题综合考查了直角三角形的知识，关键是求得和所求角相关的角的度数．