Question

15．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象过A（6，0）、C（0，-3）．且抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F在第四象限的抛物线上，当tan∠FAC=$\frac{1}{2}$时，求点F的坐标．
（3）若点P在第四象限的抛物线，且满足△PAC和△PBC的面积相等．是否能在抛物线上找点Q，使得∠PAQ=∠CAO，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先由二次函数的对称性得出点B的坐标，再利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）作辅助线，构建矩形AODM，根据已知的tan∠FAC=$\frac{1}{2}$得出$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，证△CDE∽△EMA求出点E的坐标，求出直线AE的解析式，利用方程组求二次函数和一次函数的交点坐标，写出点F的坐标．
（3）抛物线上取一点Q，使∠PAQ=∠CAO，直线AQ与y轴交于点M，作辅助线构建直角三角形与△ACO相似，求出AN、CN、PN，并求出点M的坐标，及直线AM的解析式，直线AM与抛物线的交点就是点A和点Q，列方程组解出即可．

解答 解：（1）由二次函数的对称性得：B（-2，0），
把A（6，0）、B（-2，0）、C（0，-3）代入y=ax²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$   解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²-x-3；
（2）连接AF并延长，过点C作CE⊥AF，垂足为E，过E作DM⊥y轴，过点A作AM⊥x轴，构建矩形AODM，
当tan∠FAC=$\frac{1}{2}$时，则$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∵点F在第四象限的抛物线上，
∴设DE=a，CD=b，
∵∠AEC=90°，
∴∠CED+∠AEM=90°，
∵∠CED+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠AEM，
∵∠CDE=∠AEM，
∴△CDE∽△EMA，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{DE}{AM}=\frac{CD}{EM}$=$\frac{1}{2}$，
则AM=2a，EM=2b，
由矩形的性质得：$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=6}\\{2a-b=3}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{12}{5}}\\{b=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$
∴E（$\frac{12}{5}$，$-\frac{24}{5}$），
则直线AE的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x-8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-8}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x-3}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=6}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{10}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{32}{9}}\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{10}{3}$，-$\frac{32}{9}$）
（3）过C作x轴的平行线交抛物线于点p，
则△PAC和△PBC的面积相等，
∵C（0，-3），抛物线对称轴为x=2，
∴P（4，-3），CP=4，
过P作PN⊥AC，垂足为N，
则△CPN∽△ACO，
得PN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，CN=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴AN=AC-CN=3$\sqrt{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
∵∠CAO=∠PAM，
∴∠MAO=∠PAN，
∴△PNA∽△MOA，
得：$\frac{PN}{MO}=\frac{AN}{OA}$，$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{MO}=\frac{\frac{7\sqrt{5}}{5}}{6}$，MO=$\frac{24}{7}$，
∴M（0，-$\frac{24}{7}$）得直线AM解析式为：y=$\frac{4}{7}$x-$\frac{24}{7}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{7}x-\frac{24}{7}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x-3}\end{array}\right.$  解得x₁=$\frac{2}{7}$，x₂=6，
当x₁=$\frac{2}{7}$时，y=-$\frac{160}{49}$，
∴Q（$\frac{2}{7}$，-$\frac{160}{49}$）．

点评 本题是二次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，把函数和矩形相结合，考查了矩形的性质和判定；利用方程组的解求两函数的交点坐标，这是常考题型，要熟练掌握．本题（3）除了利用相似外，还可以构建如图1所示的矩形求解．