Question

17．如图，等腰直角三角形OAB的一条直角边在y轴上，点P是边AB上的一个动点，过点P的反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交斜边OB于点Q，
（1）当Q为OB中点时，AP：PB=$\frac{1}{3}$
（2）若P为AB的三等分点，当△AOQ的面积为$\sqrt{3}$时，k的值为2或2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）设Q（m，$\frac{k}{m}$），根据线段中点的性质找出点B、A的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征可找出点P的坐标，由此即可得出结论；
（2）设P（n，$\frac{k}{n}$）（n＞0），根据三等分点的定义找出点B的坐标（两种情况），由此即可得出直线OB的解析式，联立直线OB和反比例函数解析式得出点Q的坐标，再根据三角形的面积公式找出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）设Q（m，$\frac{k}{m}$），
∵Q为OB中点，
∴B（2m，$\frac{2k}{m}$），A（0，$\frac{2k}{m}$），
∴P（$\frac{m}{2}$，$\frac{2k}{m}$），
∴AP：PB=$\frac{m}{2}$：（2m-$\frac{m}{2}$）=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．
（2）设P（n，$\frac{k}{n}$）（n＞0）．
P为AB的三等分点分两种情况：
①AP：PB=$\frac{1}{2}$，
∴B（3n，$\frac{k}{n}$），A（0，$\frac{k}{n}$），
∴直线OB的解析式为y=$\frac{\frac{k}{n}}{3n}$x=$\frac{k}{3{n}^{2}}$x，
联立直线OB与反比例函数解析式，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{3{n}^{2}}x}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}n}\\{y=\frac{\sqrt{3}k}{3n}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}n}\\{y=-\frac{\sqrt{3}k}{3n}}\end{array}\right.$（舍去）．
∵S_△AOQ=$\frac{1}{2}$AO•x_Q=$\frac{1}{2}$×$\frac{k}{n}$×$\sqrt{3}$n=$\sqrt{3}$，
解得：k=2；
②AP：PB=2，
∴B（$\frac{3}{2}$n，$\frac{k}{n}$），A（0，$\frac{k}{n}$），
∴直线OB的解析式为y=$\frac{\frac{k}{n}}{\frac{3}{2}n}$x=$\frac{2k}{3{n}^{2}}$x，
联立直线OB与反比例函数解析式，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2k}{3{n}^{2}}x}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{6}}{2}n}\\{y=\frac{\sqrt{6}k}{3n}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{6}}{2}n}\\{y=-\frac{\sqrt{6}k}{3n}}\end{array}\right.$（舍去）．
∵S_△AOQ=$\frac{1}{2}$AO•x_Q=$\frac{1}{2}$×$\frac{k}{n}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$n=$\sqrt{3}$，
解得：k=2$\sqrt{2}$．
综上可知：k的值为2或2$\sqrt{2}$．
故答案为：2或2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点P的坐标；（2）分两种情况考虑．本题属于中档题，难度不小，在解决第二问时，需要联立直线与反比例函数的解析式找出交点坐标，再结合三角形的面积公式找出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．