Question

11．已知a、b为实数，且满足$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{{a}^{2}b-4{a}^{2}}$+|6-2b|=2，则符合条件的实数对（a，b）有（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 先根据算术平方根的意义由$\sqrt{{a}^{2}b-4{a}^{2}}$有意义，得b-4≥0，则b≥4，将绝对值|6-2b|展开得2b-6，代入原式可得：8-2b≥0，b≤4，所以b=4，把b=4代入原式可求得结论．

解答 解：∵$\sqrt{{a}^{2}b-4{a}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}（b-4）}$有意义，
∵a²≥0，
∴b-4≥0，
∴b≥4，
∴6-2b＜0，
∴|6-2b|=2b-6，
∵$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{{a}^{2}b-4{a}^{2}}$+|6-2b|=2，
∴$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{{a}^{2}b-4{a}^{2}}$+2b-6=2，
$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{{a}^{2}b-4{a}^{2}}$=8-2b，
∵$\sqrt{a+1}$≥0，$\sqrt{{a}^{2}b-4{a}^{2}}$≥0，
∴8-2b≥0，
∴b≤4，
∴b=4，
把b=4代入$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{{a}^{2}b-4{a}^{2}}$+|6-2b|=2得：
$\sqrt{a+1}$=0，
∴a=-1，
则符合条件的实数对（a，b）有（-1，4），一对，
故选D．

点评 此题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根的意义是关键，由被开方数是非负数列不等式可依次求出b的值是本题的突破口．