Question

（2012•佛山）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
①y随x变化的部分数值规律如下表：

x	-1	0	1	2	3
y	0	3	4	3	0

②有序数对（-1，0）、（1，4）、（3，0）满足y=ax²+bx+c；
③已知函数y=ax²+bx+c的图象的一部分（如图）．
（2）直接写出二次函数y=ax²+bx+c的三个性质．

Answer 1

分析：（1）选择①，观察表格可知抛物线顶点坐标为（1，4），设抛物线顶点式，将点（0，3）代入确定a的值；
选择②，设抛物线解析式，将三点坐标代入得到关于a，b及c的方程组，求出方程组的解得到a，b及c的值，确定出抛物线解析式；
选择③，由图象得到抛物线顶点坐标为（1，4），设出抛物线顶点坐标，将（0，3）代入确定出a的值，即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线的对称轴，开口方向，增减性等说出性质．

解答：解：（1）若选择①：根据表格可知，抛物线顶点坐标为（1，4），设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，
将点（0，3）代入，得a（0-1）²+4=3，解得a=-1，
所以，抛物线解析式为y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；
若选择②，设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
将（-1，0）、（1，4）、（3，0）代入得：

a-b+c=0 a+b+c=4 9a+3b+c=0

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
若选择③，由图象得到抛物线顶点坐标为（1，4），且过（0，3），
设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，
将（0，3）代入得：a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；
（2）抛物线y=-x²+2x+3的性质：
①对称轴为直线x=1，
②当x=1时，函数有最大值为4，
③当x＜1时，y随x的增大而增大．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象，二次函数的性质．关键是熟练掌握二次函数的三种形式，灵活运用解析式的三种形式解题．