Question

6．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（-2，-4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．
（1）若点M（2，a）是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数y=3mx-1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据“理想点”，确定a的值，即可确定M点的坐标，代入反比例函数解析式，即可解答；
（2）假设函数y=3mx-1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），则有3mx-1=2x，整理得：（3m-2）x=1，分两种情况讨论：当3m-2≠0，即m≠$\frac{2}{3}$时，解得：x=$\frac{1}{3m-2}$，当3m-2=0，即m=$\frac{2}{3}$时，x无解，即可解答．

解答 解：∵点M（2，a）是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，
∴a=4，
∵点M（2，4）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$．
（2）假设函数y=3mx-1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），
则有3mx-1=2x，
整理得：（3m-2）x=1，
当3m-2≠0，即m≠$\frac{2}{3}$时，解得：x=$\frac{1}{3m-2}$，
当3m-2=0，即m=$\frac{2}{3}$时，x无解，
综上所述，当m≠$\frac{2}{3}$时，函数图象上存在“理想点”，为（$\frac{1}{3m-2}，\frac{2}{3m-2}$）；
当m=$\frac{2}{3}$时，函数图象上不存在“理想点”．

点评 本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，解决本题的关键是理解“理想点”的定义，确定点的坐标．