Question

6．已知正方形ABCD，过D点的直线l从DA开始，绕D点顺时针旋转，旋转角为α，E、A关于直线l对称，连CE交直线l于F，连接DE、AF．
（1）如图1，当α=40°时，△AEF的形状是等腰直角三角形（直接写出结果）；
（2）如图1，连BF，求证：BF⊥l；
（3）当α=60°时，如图2，连BF，若DF=$\sqrt{3}$-1，求正方形的边长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质、翻折变换的性质得到∠FEA=45°，FA=FE，得到答案；
（2）连接BF、BD，根据三角形内角和定理以及四点共圆得到∠BFD=90°，证明结论；
（3）根据勾股定理和四点共圆解答即可．

解答 解：（1）由题意得，∠ADE=80°，DA=DE，
∴∠DEA=∠DAE=50°，
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠CDA+∠ADE=170°，
∵DE=DA=DC，
∴∠DEC=5°，
∴∠FEA=45°，
由翻折变换的性质可知，FA=FE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）连接BF、BD，
∵∠ADE=2α，DE=DC，
∴∠DEC=$\frac{180°-90°-2α}{2}$=45°-α，
∠DEA=$\frac{180°-2α}{2}$=90°-α，
∴∠FEA=∠DEA-∠DEC=45°，
∴∠AFE=90°，
∴∠DFC=45°，又∠DBC=45°，
∴∠DFC=∠DBC，
∴F、B、C、D四点共圆，
∴∠BFD+∠BCD=180°，
∴∠BFD=90°，即BF⊥l；
（3）∵∠AHD=∠AOD=90°，
∴A、H、D、O四点共圆，
∴∠AOH=∠ADH=60°，又H是AE的中点，O是AC的中点，
∴OH∥CE，
∴∠ACF=∠AOH=∠ADH=90°，
∴A、D、F、C四点共圆，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∴∠CAF=∠CDF=30°，
设AD=CD=2a，则DH=a，AH=$\sqrt{3}$a，AC=2$\sqrt{2}$a，AF=$\sqrt{6}$a，
则FH=$\sqrt{A{F}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
DF=$\sqrt{3}$a-a=$\sqrt{3}$-1，
解得，a=1，
AD=2，即正方形的边长为2．

点评 本题考查的是正方形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角是直角、翻折变换的性质是解题的关键．