解:(1)如图所示,
当DE⊥AC时,DE是⊙O的切线
证明:连接OD
∵AB是⊙O的直径
∴AO=OB
∵点D是BC的中点
∴BD=DC,
∴OD是△ACB的中位线,
∴OD∥AC
∴DE⊥OD
即DE是⊙O的切线
(2)①∵AC为⊙O的切线
∴AC⊥AB
∵DE∥AB
∴DE⊥AC
∵点E是AC中点
∴点D是BC中点
∴OD⊥DE
∵AO=OD
∴四边形AODE是正方形
∵AB=2
∴AD=
∴
=
=
=2
-2
②由图形可知,S
阴影=S
正方形AODC-S
扇形OAD∵S
正方形=1×1=1平方单位
∵S
扇形=
=
平方单位
∴S
阴影=1-
平方单位.
分析:(1)若DE是圆的切线,则连接OD,OD应垂直于DE,再根据三角形的中位线定理得到OD∥AC,所以DE⊥AC,反之成立;
(2)①中,连接OD,根据平行线等分线段定理,得到D是BC的中点,根据平行线的性质和切线的性质得到DE⊥AC,结合(1)的结论,则DE也是圆的切线,从而得到OD⊥DE,根据一组邻边相等的矩形是正方形得到正方形AEDO,从而发现等腰直角三角形AOD和ADB,根据AB=2,即可求得AD的长,进一步计算;
②中,阴影部分的面积显然是正方形AEDO的面积减去扇形OAD的面积,根据①中的结论即可计算.
点评:此题综合运用了三角形的中位线定理、切线的判定和性质、正方形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质.