Question

17．如图，抛物线y=x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入函数解析式即可求得解析式，然后利用配方法求得D的坐标；
（2）求得C关于x轴的对称点C′，求得直线C′D的解析式，与x轴的交点的横坐标即是m的值．

解答 解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x²+bx-2上，
∴1-b-2=0，
解得：b=-1，
则抛物线的解析式是y=x²-x-2．
y=x²-x-2=x²-x+$\frac{1}{4}$-$\frac{9}{4}$=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，则D的坐标是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
（2）在y=x²-x-2中令x=0，解得y=-2，则C的坐标是（0，-2）．
C关于x中的对称点C'的坐标是（0，2）．
设C'D的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{\frac{1}{2}k+b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k=-\frac{17}{2}}\end{array}\right.$，
则C'D的解析式是y=-$\frac{17}{2}$x+2．
令y=0，则-$\frac{17}{2}$x+2=0，解得x=$\frac{4}{17}$，
则m=$\frac{4}{17}$．

点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用对称解决最值问题．