Question

如图1，以△ABC的边AB，AC为直角边作等腰△ABE和△ACD，M是BC的中点．
（1）若∠BAC=90°，如图1．请你猜想线段DE，AM的数量关系，并证明你的结论；
（2）若∠BAC≠90°．
①如图2．请你猜想线段DE，AM的数量关系，并证明你的结论；
②如图3．请你判断线段DE，AM的数量关系．

Answer 1

解：（1）DE=2AM．
∵∠BAC=∠EAB=∠DAC=90°，
∴∠EAD=90°．
∵AB=AE，AC=AD，
∴△ABC≌△AED．
∵M是BC的中点，
∴BC=2AM．
∴DE=2AM．

（2）①DE=2AM．
延长AM到F，使得AM=MF．连接BF、CF．
如图．
∵AM=MF，BM=MC，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∴AB=AE=FC．
∵∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠BAC+∠EAD=180°．
∵∠BAC+∠ACF=180°，
∴∠EAD=∠ACF．
∵AC=AD，AE=FC，
∴△AFC≌△AED．
∴AF=DE．
∴DE=2AM．
②DE=2AM．
分析：（1）AB，AC为直角边，M是BC的中点，BC=2AM，证明△ABC≌△AED，得出DE=2AM．
（2）延长AM到F，使得AM=MF，则AF=2AM，连接BF、CF．由SAS证出△CFA≌△AED，得出AF=DE，从而DE=2AM．
点评：本题考查了全等三角形的判定及性质；延长中线的一倍是一种常用的辅助线的作法，（2）运用此作法得出2AM即为线段AF，然后借助三角形全等将DE等量转化为AF．（1）是（2）的特殊情况，同样，（1）也可以运用此种作法来做．