【题目】(2017广东省深圳市)如图,抛物线经过点A(﹣1,0),B(4,0),交y轴于点C;
(1)求抛物线的解析式(用一般式表示);
(2)点D为y轴右侧抛物线上一点,是否存在点D使?若存在请直接给出点D坐标;若不存在,请说明理由;
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点E,求BE的长.
【答案】(1);(2)D坐标为(1,3)或(2,3)或(5,﹣3);(3).
【解析】试题(1)由A、B的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由条件可求得点D到x轴的距离,即可求得D点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得D点坐标;
(3)由条件可证得BC⊥AC,设直线AC和BE交于点F,过F作FM⊥x轴于点M,则可得BF=BC,利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标,利用待定系数法可求得直线BE解析式,联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标,则可求得BE的长.
试题解析:
(1)∵抛物线经过点A(﹣1,0),B(4,0),
∴,
解得:,
∴抛物线解析式为;
(2)由题意可知C(0,2),A(﹣1,0),B(4,0),
∴AB=5,OC=2,
∴S△ABC=ABOC=×5×2=5,
∵,
∴S△ABD=×5=,
设D(x,y),
∴AB|y|=×5|y|=,
解得|y|=3,
当y=3时,由=3,解得x=1或x=2,此时D点坐标为(1,3)或(2,3);
当y=﹣3时,由=﹣3,解得x=﹣2(舍去)或x=5,此时D点坐标为(5,﹣3);
综上可知存在满足条件的点D,其坐标为(1,3)或(2,3)或(5,﹣3);
(3)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,
∴AC= =,BC==,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,即BC⊥AC,
如图,设直线AC与直线BE交于点F,过F作FM⊥x轴于点M,由题意可知∠FBC=45°,∴∠CFB=45°,
∴CF=BC=,
∴,即,解得OM=2,
,即,解得FM=6,
∴F(2,6),且B(4,0),
设直线BE解析式为y=kx+m,则可得:,解得:,
∴直线BE解析式为y=﹣3x+12,
联立直线BE和抛物线解析式可得:,
解得:或,
∴E(5,﹣3),
∴BE= =.
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【题目】如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为 .
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【题目】如图1,△ABC中,CD为△ABC的中线,点E在CD上,且∠AED=∠BCD.
(1)求证:AE=BC.
(2)如图2,连接BE,若AB=AC=2DE,∠CBE=14°,则∠ACD的度数为 (直接写出结果),
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【题目】冬至是一年中太阳光照射最少的日子,如果此时楼房最低层能采到阳光,一年四季整座楼均能受到阳光照射,所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.吴江某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼.该居民楼的一楼是高为米的小区超市,超市以上是居民住房,现计划在该楼前面米处盖一栋新楼,已知吴江地区冬至正午的阳光与水平线夹角大约为.(参考数据在,)
中午时,若要使得超市采光不受影响,则新楼的高度不能超过多少米?(结果保留整数)
若新建的大楼高米,则中午时,超市以上的居民住房采光是否受影响,为什么?
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)交于A(2,4),B(a,1),与x轴,y轴分别交于点C,D.
(1)直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=(x>0)的表达式;
(2)求证:AD=BC.
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【题目】已知图1和图2中的四边形ABCD都是正方形,△ABE的边长分别为a,b,c,请你从图1到图2,图2到图3的变换过程中,利用几何图形的面积关系,求a,b,c之间的等量关系式.
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【题目】如图:已知AE∥BF,AE=BF,A、C、D、B在同一直线上,要使△ADE≌△BCF,可添加的一个条件可以是____________________.(写一个即可).
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【题目】矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,当△CEB′为直角三角形时,BE的长为( )
A. 3 B. C. 2或3 D. 3或
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【题目】2019年11月份,我县教体局由县城老区搬到了新区(海丰16路与棣新4路交叉口),当时某科室需要把相关档案由老区办公楼搬到新区办公楼,甲搬家公司单独工作了3天,完成总量的;这时为了加快进度,又调来乙搬家公司合干,两队又共同工作了3天,全部搬完档案。假若在工作期间甲、乙两搬家公司各自的工作效率不变,问若单独干完这项工作哪个搬家公司的速度快?(用方程解答)
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