Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得△ADM是正三角形，则△ABM与△DCM的面积和是

 

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Answer 1

分析：补成正方形，相当于正方形中的内接正三角形，毫无疑问有：△ABM≌△AED，△CDM为等腰直角三角形，设MB=x，由勾股定理可得x的值．

解答：解：过A点作AE⊥CD交CD的延长线于E．

∵∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，
∴四边形ABCE是正方形．
∵△ADM是正三角形，
∴Rt△ABM≌Rt△AED，
∴∠ADE=∠AMB，
∴∠CDM=∠CMD，
∴CD=CM，
设MB=x，则ED=x，CD=CM=10-x．
得10²+x²=2（10-x）²
解得x=20-10

3

，x=20+10

3

（不合题意舍去）
∴△ABM与△DCM的面积和=10×（20-10

3

）÷2+（10-20+10

3

）²÷2=300-150

3

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点评：本题考查了正方形、全等三角形的判定和性质，同时考查了等边三角形的性质、勾股定理等知识，综合性较强．