Question

【题目】阅读下面材料：

小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．

请回答：

（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；

（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决.

请你帮小明计算：OC=　 　；tan∠AOD=　 　；

解决问题：

如图3，计算：tan∠AOD=　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；5；解决问题：.

【解析】

（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；
（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；
（3）如图，连接AE、BF，则AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD．

解：（1）如图所示：

线段CD即为所求．

（2）如图2所示连接AC、DB、AD．

∵AD=DE=2，

∴AE=2．

∵CD⊥AE，

∴DF=AF=．

∵AC∥BD，

∴△ACO∽△DBO．

∴CO：DO=2：3．

∴CO=．

∴DO=．

∴OF=．

tan∠AOD== 5．

解决问题：如图3所示：

根据图形可知：BF=2，AE=5．

由勾股定理可知：AF==，AB==．

∵FB∥AE，

∴△AOE∽△BOF．

∴AO：OB=AE：FB=5：2．

∴AO=．

在Rt△AOF中，OF==．

∴tan∠AOD=．