如图，在四边形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G．设DE=x，△GEF与四边形ABCD重叠部分的面积为y．分析 （1）如图1，作辅助线AH⊥BC，AH的长就是CD的长，根据直角三角形中的特殊三角函数值可以求AH的长，即CD=AH=3$\sqrt{3}$，在直角△ACD中，求∠CAD=30°，由平行线的同位角相等可以得∠1=∠CAD=30°；
（2）如图2，由对折得：Rt△FGE≌Rt△FDE，则GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°，从而求得直角△GEC中，EC=$\frac{1}{2}$x，根据DE+EC=CD 列式可求得x的值；
（3）分两种情形：
第一种情形：当$0＜x≤2\sqrt{3}$时，如图3，△GEF完全在四边形内部分，重叠部分面积就是△GEF的面积；
第二种情形：当$2\sqrt{3}$＜x≤$3\sqrt{3}$时，如图4，重叠部分是△GEF的面积-△MNG的面积，所以要根据特殊的三角函数值求MG、NG的长，代入面积公式即可．
再根据两种情形的最大值作对比得出结果．
解答 
解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，
∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，
∴AH=AB•sinB=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$3\sqrt{3}$，
∵∠D=∠BCD=90°，
∴四边形AHCD为矩形，
∴CD=AH=$3\sqrt{3}$，
∵$tan∠CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{{3\sqrt{3}}}{9}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴∠CAD=30°，
∵EF∥AC，
∴∠1=∠CAD=30°；
（2）若点G恰好在BC上，如图2，
由对折的对称性可知Rt△FGE≌Rt△FDE，
∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°，
∴∠GEC=60°，
∵△CEG是直角三角形，
∴∠EGC=30°，
∴在Rt△CEG中，EC=$\frac{1}{2}$EG=$\frac{1}{2}$x，
由DE+EC=CD 得$x+\frac{1}{2}x=3\sqrt{3}$，
∴x=$2\sqrt{3}$；
（3）分两种情形：
第一种情形：当$0＜x≤2\sqrt{3}$时，如图3，
在Rt△DEF中，tan∠1=tan30°=$\frac{DE}{DF}$，
∴DF=x÷$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$x，
∴y=S△EGF=S△EDF=$\frac{1}{2}•DE•DF$=$\frac{1}{2}•x•\sqrt{3}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$，
∵$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$＞0，对称轴为y轴，
∴当$0＜x≤2\sqrt{3}$，y随x的增大而增大，
∴当x=$2\sqrt{3}$时，y最大值=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$（2\sqrt{3}）^{2}$=$6\sqrt{3}$；
第二种情形：当$2\sqrt{3}$＜x≤$3\sqrt{3}$时，如图4，
设FG，EG分别交BC于点M、N，
（法一）∵DE=x，
∴EC=$3\sqrt{3}-x$，NE=2$（{3\sqrt{3}-x}）$，
∴NG=GE-NE=$x-2（{3\sqrt{3}-x}）$=$3x-6\sqrt{3}$，
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，
∴MG=NG•tan30°=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{3x-6\sqrt{3}}）$，
∴${S_{△MNG}}=\frac{1}{2}•NG•MG=\frac{1}{2}（{3x-6\sqrt{3}}）×\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{3x-6\sqrt{3}}）$=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}{（{3x-6\sqrt{3}}）^2}$
∴y=S△EGF-S△MNG=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{6}{（{3x-6\sqrt{3}}）^2}$=$-\sqrt{3}{x^2}+18x-18\sqrt{3}$
∵$-\sqrt{3}＜0$，对称轴为直线$x=-\frac{18}{{2×（{-\sqrt{3}}）}}=3\sqrt{3}$，
∴当$2\sqrt{3}$＜x≤$3\sqrt{3}$时，y有最大值，且y随x的增大而增大，
∴当$x=3\sqrt{3}$时，${y_{最大值}}=\frac{{4×\sqrt{3}×18\sqrt{3}-{{18}^2}}}{{-4\sqrt{3}}}$=$9\sqrt{3}$，
综合两种情形：由于$6\sqrt{3}$＜$9\sqrt{3}$；
∴当$x=3\sqrt{3}$时，y的值最大，y的最大值为$9\sqrt{3}$．
点评 本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、二次函数的最值、特殊的三角函数值及直角三角形中30°角的性质，对于求重叠部分的面积，要先把特殊位置对应的x的值求出来，再分情况进行讨论，本题难度适中．
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，则∠C为35度．