Question

（2012•房山区一模）已知点A（1，

1

2

）在抛物线y=

1

3

x²+bx+c上，点F（-

1

2

，

1

2

）在它的对称轴上，点P为抛物线上一动点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）判断是否存在直线l，使得线段PF的长总是等于点P到直线l的距离，需说明理由．
（3）设直线PF与抛物线的另一交点为Q，探究：PF和QF这两条线段的倒数和是否为定值？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴为x=-

b

2a

=-

1

2

和a=

1

3

求得b值，然后把求得的b值和点A点的坐标代入y=

1

3

x²+bx+c，可求得c值，从而得到二次函数的解析式．
（2）设点P（x₀，y₀），表示出P点的纵坐标y₀=

1

3

x₀²+

1

3

x₀-

1

6

．作PM⊥AF于M，利用勾股定理PF²=PM²+MF²进一步得到PF=y₀+1．根据当直线l经过点（0，-1）且与x轴平行时，y₀+1即为点P到直线l的距离，从而得到结论．
（3）分当PF∥x轴时，利用PF=QF=

3

2

求得

1

PF

+

1

QF

=

4

3

和当PF与x轴不平行时，作QN⊥AF于N，利用△MFP∽△NFQ根据相似三角形对应边的比相等求得

1

PF

+

1

QF

=

4

3

，从而得到结论．

解答：（1）解：由-

b

2a

=-

1

2

，a=

1

3

，得b=

1

3

…（1分）
把b=

1

3

和点A（1，

1

2

）代入y=

1

3

x²+bx+c，可求得c=-

1

6

．
故这条抛物线的解析式是y=

1

3

x²+

1

3

x-

1

6

．…（2分）

（2）解：设点P（x₀，y₀），则y₀=

1

3

x₀²+

1

3

x₀-

1

6

．
作PM⊥AF于M，得 
PF²=PM²+MF²=（x₀+

1

2

）²+（y₀-

1

2

）²
又∵y₀=

1

3

x₀²+

1

3

x₀-

1

6

=

1

3

（x₀+

1

2

）²-

1

4

∴（x₀+

1

2

）²=3y₀+

3

4

∴PF²=3y₀+

3

4

+y₀²-y₀+

1

4

=（ y₀+1）²．
易知y₀≥-

1

4

，y₀+1＞0．∴PF=y₀+1．…（4分）
又∵当直线l经过点（0，-1）且与x轴平行时，
y₀+1即为点P到直线l的距离．
∴存在符合题意的直线l．…（5分）

（3）是定值．
证明：当PF∥x轴时，PF=QF=

3

2

，

1

PF

+

1

QF

=

4

3

．…（6分）
当PF与x轴不平行时，作QN⊥AF于N，
∵△MFP∽△NFQ，
∴

PM

PF

=

QN

QF

．
再依据第（2）小题的结果，可得

PF- 3 2

PF

=

3 2 -QF

QF

．…（7分）
整理上式，得 

1

PF

+

1

QF

=

4

3

．…（8分）

点评：本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点比较多，难度比较大，是中考中的压轴题．特别是存在性问题更是近几年中考的高频考点．