【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=AD=5,BC=CD且BC>AB,BD=8.给出以下判断:
①AC垂直平分BD;
②四边形ABCD的面积S=ACBD;
③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形;
④当A,B,C,D四点在同一个圆上时,该圆的半径为;
⑤将△ABD沿直线BD对折,点A落在点E处,连接BE并延长交CD于点F,当BF⊥CD时,点F到直线AB的距离为.
其中正确的是_____.(写出所有正确判断的序号)
【答案】①③④
【解析】依据AB=AD=5,BC=CD,可得AC是线段BD的垂直平分线,故①正确;依据四边形ABCD的面积S=,故②错误;依据AC=BD,可得顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形,故③正确;当A,B,C,D四点在同一个圆上时,设该圆的半径为r,则r2=(r﹣3)2+42,得r=,故④正确;连接AF,设点F到直线AB的距离为h,由折叠可得,四边形ABED是菱形,AB=BE=5=AD=GD,BO=DO=4,依据S△BDE=×BD×OE=×BE×DF,可得DF=,进而得出GF=,再根据S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF,即可得到h=,故⑤错误.
∵在四边形ABCD中,AB=AD=5,BC=CD,
∴AC是线段BD的垂直平分线,故①正确;
四边形ABCD的面积S=,故②错误;
当AC=BD时,顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形,故③正确;
当A,B,C,D四点在同一个圆上时,设该圆的半径为r,则r2=(r﹣3)2+42,
得r=,故④正确;
将△ABD沿直线BD对折,点A落在点E处,连接BE并延长交CD于点F,如图所示,
连接AF,设点F到直线AB的距离为h,
由折叠可得,四边形ABED是菱形,AB=BE=5=AD=GD,BO=DO=4,
∴AO=EO=3,
∵S△BDE=×BD×OE=×BE×DF,
∴DF=,
∵BF⊥CD,BF∥AD,
∴AD⊥CD,GF=,
∵S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF,
∴×5h=×(5+5+)×﹣×5×,
解得h=,故⑤错误,
故答案为:①③④.
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【题目】如图,△ABC的三个顶点坐标为A(-4,4),B(-3,1),C(-1,2)。
(1)将△ABC向右平移5个单位,得到△A1B1C1,画出图形,并直接写出A1的坐标;
(2)作出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2,并直接写出C2点的坐标。
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【题目】汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动:在l上确定A,B两点,并在AB路段进行区间测速.在l外取一点P,作PC⊥l,垂足为点C.测得PC=30米,∠APC=71°,∠BPC=35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)
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【题目】(问题解决)
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP′,求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
(类比探究)
如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边长为2,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,∠AOC=60°,若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°,得到四边形OA′B′C′,则点B的对应点B′的坐标为_____.
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【题目】某公司分两次采购甲、乙两种商品,具体情况如下:
商品 | 甲 | 乙 | 花费资金 |
次数 | |||
第一次采购件数 | 10件 | 15件 | 350元 |
第二次采购件数 | 15件 | 10件 | 375元 |
(1)求甲、乙商品每件各多少元?
(2)公司计划第三次采购甲、乙两种商品共31件,要求花费资金不超过475元,问最多可购买甲商品多少件?
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【题目】随州市新水一桥(如图1)设计灵感来源于市花﹣﹣兰花,采用蝴蝶兰斜拉桥方案,设计长度为258米,宽32米,为双向六车道,2018年4月3日通车.斜拉桥又称斜张桥,主要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图2所示,索塔AB和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC)均在同一水平面内,BC在水平桥面上.已知∠ABC=∠DEB=45°,∠ACB=30°,BE=6米,AB=5BD.
(1)求最短的斜拉索DE的长;
(2)求最长的斜拉索AC的长.
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【题目】已知,如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,若DE=8,则线段BD+CE的长为
A. 5B. 6C. 7D. 8
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【题目】一扇窗户如图1所示,窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.如图2是图1中“滑块铰链”的平面示意图,滑轨MN安装在窗框上,托悬臂DE安装在窗扇上,支点4处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点B,C,D在一条直线上,延长DE交MN于点F.已知AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,BD=40cm.
(1)当∠CAB=35 时,求窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数.
(2)当窗扇关闭时,图中点E,A,D,C,B都在滑轨MN上.求此时点A与点B之间的距离.
(3)在(2)的前提下,将窗户推开至四边形ACDE为矩形时,求点A处的滑块移动的距离.
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