Question

8．已知，在△ABC中，AB=2AC，D为AB中点，E为AD的中点，求证：BC=2CE．

Answer 1

分析 延长CE至F，使EF=CE，则CF=2CE，证明四边形ACDF是平行四边形，得出DF=AC，DF∥AC，证出AD=BD=AC，∠BDC=∠FDC，由SAS证明△BDC≌△FDC，得出BC=CF=2CE即可．

解答 证明：延长CE至F，使EF=CE，连接AF、DF，如图所示：
则CF=2CE，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴DF=AC，DF∥AC，
∴∠1=∠2，
∵AB=2AC，D为AB中点，
∴AD=BD=AC，
∴BD=DF，∠3=∠ACD，
∵∠BDC=∠2+∠ACD，∠FDC=∠1+∠3，
∴∠BDC=∠FDC，
在△BDC和△FDC中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=FD}&{\;}\\{∠BDC=∠FDC}&{\;}\\{DC=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△FDC（SAS），
∴BC=CF=2CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．