Question

如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=

m

x

的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S_△PBD=4，

OC

OA

=

1

2

．
（1）求点D的坐标及BD长；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围；
（4）若双曲线上存在一点Q，使以B、D、P、Q为顶点的四边形是直角梯形，请直接写出符合条件的Q点的坐标．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入y=kx+2即可求出D的坐标；根据相似三角形的判定得出

OD

AP

=

OC

0A

，求出AP，即可求出BD；
（2）根据三角形PBD的面积求出P的坐标，把P的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式求出即可；
（3）根据图象上P的坐标求出即可；
（4）作DQ∥x轴，把y=2代入反比例函数的解析式，求出即可．

解答：解：（1）在y=kx+2中，当x=0，得：y=2，
∴点D的坐标是（0，2），
∵AP∥OD，
∴△PAC∽△DOC，
∵

OC

OA

=

1

2

，
∴

OD

AP

=

OC

AC

=

1

3

，
∴AP=6，
∵BD=6-2=4，
答：点D的坐标是（0，2），BD的长是4．

（2）∵S_△PBD=

1

2

PB•BD=

1

2

×PB×4=4，
∴BP=2，
∴P（2，6），
把P（2，6）分别代入y=kx+2和y=

m

x

得：k=2，m=12，
∴一次函数的解析式是y=2x+2，反比例函数的解析式是y=

12

x

，

（3）由图形可知一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围是x＞2．

（4）Q（6，2）．

点评：本题综合考查了相似三角形的性质和判定，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，直角梯形，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时也培养了学生的观察能力，数形结合思想的巧妙运用．