Question

【题目】阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′B 的值最小．

解答问题：

（1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止．

①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？

②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）PA+PC的最小值是2；（2）①点M的位置是（，0）时，用时最少；②S与t之间的函数关系式是当3＜t≤4时，S＝18﹣3t；当0＜t≤3时，S＝3t．当4＜t≤6时，S＝﹣3t+18．

【解析】

（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，AP+PC＝PC+PM＝CM最小；

（2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处；

②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C到（，0）以及到B的解析式．

解：（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，

则此时AP+PC＝PC+PM＝CM最小，

∵AM是直径，∠AOC＝60°，

∴∠ACM＝90°，∠AMC＝30°，

∴AC＝AM＝2，AM＝4，由勾股定理得：CM＝＝2．

答：PA+PC的最小值是2．

（2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，即为使点P能在最短的时间内到达点B处，

∴当PB⊥AB时，根据垂线段最短得出此时符合题意，

∵菱形ABCD，AB＝6，∠DAB＝60°，

∴∠BAO＝30°，AB＝AD，AC⊥BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD＝6，BO＝3，由勾股定理得：AO＝3，

在Rt△APB中，AB＝6，∠BAP＝30°，BP＝AP，由勾股定理得：AP＝4，BP＝2，

∴点M的位置是（，0）时，用时最少．

②当0＜t≤3时，AP＝2t，

∵菱形ABCD，

∴∠OAB＝30°，

∴OB＝AB＝3，

由勾股定理得：AO＝CO＝3，

∴S＝AP×BO＝×2t×3＝3t；

③当3＜t≤4时，AP＝6﹣（2t﹣6）＝12﹣2t，

∴S＝AP×BO＝×（12﹣2t）×3＝18﹣3t．

当4＜t≤6时，

S＝AB×BP＝×6×[2﹣（t﹣4）]＝﹣3t+18，

答：S与t之间的函数关系式是当3＜t≤4时，S＝18﹣3t；当0＜t≤3时，S＝3t．当4＜t≤6时，S＝﹣3t+18．