Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F．

（1）求证：OD∥AC；

（2）求证：DC2＝DEDA；

（3）若⊙O的直径AB＝10，AC＝6，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4

【解析】

（1）由D是的中点，推出∠CAB=2∠BAD，再根据∠BOD=2∠BAD得∠CAB=∠BOD，故AC∥OD；
（2）证明△DCE∽△DCA，即可求解；
（3）根据△BOF∽△BAC，列出＝，求出BF=4．

（1）因为点D是弧BC的中点，

所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，

而∠BOD＝2∠BAD，

所以∠CAB＝∠BOD，

所以DO∥AC；

（2）∵D是的中点，

∴∠CAD＝∠DCB，

∴△DCE∽△DAC，

∴CD2＝DEDA；

（3）∵AB为⊙O的直径

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ACB中，BC＝.＝8，

∵OD∥AC，

∴△BOF∽△BAC，

∴，

即＝，

∴BF＝4．

即BF的长为4．