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如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,4),顶点为(1,).

(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,设抛物线的对称轴与x轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使△CDP为等腰三角形,请直接写出满足条件的所有点P的坐标.
(3)如图2,若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合),分别连接AC、BC,过点E作EF∥AC交线段BC于点F,连接CE,记△CEF的面积为S,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值及此时E点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1);(2)满足条件的点P的坐标有:
(3)存在点E能使S有最大值,最大值为3,此时点E的坐标为(1,0).

试题分析:本题考查了二次函数的综合运用.其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法,在动点问题时要注意分情况讨论.
(1)已知抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为:,将点C(0,4)代入即可求解.
(2)求满足使△CDP为等腰三角形的动点P的坐标,一般地,当一等腰三角形的两腰不明确时,应分类讨论如下:如图①当PC=PD时:过点C作CE⊥DP交于点E,设CP=DP=a,由勾股定理易求,所以点;如图②当DC=DP时:即以点D为圆心,以CD的长为半径作圆,可以发现在对称轴上有两个符合条件的点,因为CD=,故DP=.所以点P的坐标为;如图③当CD=CP时:点C在DP的垂直平分线上,过点C作CE⊥DP交于点E,此时易得DE=PE=4,所以点P的坐标为.
(3)先由求得抛物线与坐标轴的交点坐标,进而求得直线AC的解析式为.由于EF∥AC,可由平移设出直线EF的解析式为,此时可求得点E的坐标为.进而列方程组求出点F的坐标,最后利用得出一个关于b的二次函数,利用二次函数性质可求出是否存在满足条件的点E.

试题解析:
(1)解∵抛物线的顶点为
∴可设抛物线的函数关系式为
∵抛物线与y轴交于点C(0,4),
    解得
∴所求抛物线的函数关系式为
(2)解:满足条件的点P的坐标有:
(3)解:存在点E能使S有最大值,最大值为3,此时点E的坐标为(1,0).
如图,令
解得x1=-2,x2=4.
∴抛物线与x轴的交点为A(-2,0) ,B (4,0) .
∵A(-2,0),B(4,0),C(0,4),
∴直线AC的解析式为
直线BC的解析式为
∵EF∥AC,
∴可设直线EF的解析式为,(-2<x<4)
,解得
∴点E的坐标为
∴BE=
解方程组 得
∴点F的坐标为

整理得
∴当时,S有最大值3,此时点E的坐标为(1,0).
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A.h=mB.n>hC.k>nD.h>0,k>0

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C.D.

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抛物线上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:




0
1
2

y

0
4
6
6
4

由上表可知,下列说法正确的个数是 (       )
①抛物线与x轴的一个交点为   ②抛物线与轴的交点为
③抛物线的对称轴是:       ④在对称轴左侧y随x增大而增大
A.1     B.2     C.3     D.4

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A.2个B.3个 C.4个D.5个

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A.2 B.3 C.4 D.5

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将二次函数y=x2-1的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为(  )
A.y=(x﹣1)2-4 B.y=(x+1)2﹣4
C.y=(x-1)2+2 D.y=(x+1)2+2

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