试题分析:本题考查了二次函数的综合运用.其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法,在动点问题时要注意分情况讨论.
(1)已知抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为:
,将点C(0,4)代入即可求解.
(2)求满足使△CDP为等腰三角形的动点P的坐标,一般地,当一等腰三角形的两腰不明确时,应分类讨论如下:如图①当PC=PD时:过点C作CE⊥DP交于点E,设CP=DP=a,由勾股定理易求
,所以点
;如图②当DC=DP时:即以点D为圆心,以CD的长为半径作圆,可以发现在对称轴上有两个符合条件的点,因为CD=
,故DP=
.所以点P的坐标为
,
;如图③当CD=CP时:点C在DP的垂直平分线上,过点C作CE⊥DP交于点E,此时易得DE=PE=4,所以点P的坐标为
.
(3)先由
求得抛物线与坐标轴的交点坐标,进而求得直线AC的解析式为
.由于EF∥AC,可由平移设出直线EF的解析式为
,此时可求得点E的坐标为
.进而列方程组求出点F的坐标,最后利用
得出一个关于b的二次函数,利用二次函数性质可求出是否存在满足条件的点E.
试题解析:
(1)解∵抛物线的顶点为
∴可设抛物线的函数关系式为
∵抛物线与y轴交于点C(0,4),
∴
解得
∴所求抛物线的函数关系式为
.
(2)解:满足条件的点P的坐标有:
、
、
、
(3)解:存在点E能使S有最大值,最大值为3,此时点E的坐标为(1,0).
如图,令
解得x
1=-2,x
2=4.
∴抛物线
与x轴的交点为A(-2,0) ,B (4,0) .
∵A(-2,0),B(4,0),C(0,4),
∴直线AC的解析式为
,
直线BC的解析式为
.
∵EF∥AC,
∴可设直线EF的解析式为
,(-2<x<4)
令
,解得
,
∴点E的坐标为
.
∴BE=
.
解方程组
得
,
∴点F的坐标为
.
整理得
∴当
时,S有最大值3,此时点E的坐标为(1,0).