Question

如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1 厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒时．解答下列问题：
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是______秒；
（2）在P、Q两点运动过程中，当t取何值时，△APQ也是等边三角形？并请说明理由；
（3）当0＜t＜2时，∠APQ始终是Rt∠，请画出示意图并说明理由．

Answer 1

解：（1）设点P、Q从出发到相遇所用时间是t，根据题意得：
t+2t=AC+AB+BC=12，
解得：t=4；
故答案为：4；

（2）如图1：若△APQ是等边三角形，
此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
则CP=DQ，即t-4=4-（2t-8），
解得：t=；

（3）如图2所示：易得：AQ=2AP 又∠PAQ=60度，由对边=斜边一半 得∠AQP=90°，
即当0＜t＜2时，∠APQ始终是Rt∠．
分析：（1）根据相遇问题，由路程÷速度=时间建立等式求出t的值即可；
（2）根据若△APQ是等边三角形，此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，进而得出CP=DQ，求出即可；
（3）根据P，Q运动速度得出由对边=斜边一半 得∠AQP=90°求出即可．
点评：此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题关键．